Символ Кронекера

Символ Кронекера (или дельта Кронекера) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае^[1]:

[math]\displaystyle{ \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j, \\ 0, & i \ne j. \end{cases} }[/math]

Например, [math]\displaystyle{ \delta_{12} = 0 }[/math], но [math]\displaystyle{ \delta_{33} = 1 }[/math].

Использование

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса [math]\displaystyle{ (e_i, e_j) = \delta_{ij} }[/math], а также — в общем случае — для определения дуальных базисов [math]\displaystyle{ (e_i, f^j) = \delta_i^j }[/math], где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: [math]\displaystyle{ (\delta_{ij})_{i,j=1}^n }[/math] (элементы единичной матрицы записываются как [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math]).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор^[2]. В частности, могут использоваться различные написания [math]\displaystyle{ \delta_{ij}, \delta^i_j, \delta^{ij} }[/math] для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае [math]\displaystyle{ \delta_{ij}, \delta^i_j, \delta^{ij} }[/math] — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех)^[3].

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

Символ был введён Кронекером в 1866 году^[1].

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 Символ Кронекера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — С. 186. — ISBN 978-5-9221-0770-9.
↑ Последнее верно лишь для случая положительно определённых метрик, тогда как понятие ортонормированности базиса часто распространяют и на случай псевдоевклидовых пространств, что уже не имеет прямого отношения к символу Кронекера.

См. также

[GSE-1] 1,0 ^1,1 Символ Кронекера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[2] Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — С. 186. — ISBN 978-5-9221-0770-9.

[3] Последнее верно лишь для случая положительно определённых метрик, тогда как понятие ортонормированности базиса часто распространяют и на случай псевдоевклидовых пространств, что уже не имеет прямого отношения к символу Кронекера.

[1]

[2]

[3]