Z-матрица (математика)

В математике класс Z-матриц составляют те матрицы, чьи внедиагональные элементы меньше или равны нулю, то есть элементы Z-матрицы имеют вид:

[math]\displaystyle{ Z=(z_{ij});\quad z_{ij}\leq 0, \quad i\neq j. }[/math]

Данное определение в точности совпадает с определением взятой со знаком минус матрицы Метцлера, или квазиположительной матрицы. Поэтому иногда в литературе Z-матрицы называют квазиотрицательными матрицами, но только в том контексте, когда они рассматриваются вместе с квазиположительными.

Матрица Якоби конкурирующих динамических систем по определению является Z-матрицей. Аналогично, если матрица Якоби коллективной динамической системы является Z-матрицей, взятой со знаком минус.

Близкими к классу Z-матриц являются L-матрицы, M-матрицы, P-матрицы, матрицы Гурвица и матрицы Метцлера. L-матрицы имеют дополнительное свойство, что все их диагональные элементы больше нуля. M-матрицы имеют несколько эквивалентных определений, одно из которых: Z-матрица называется M-матрицей, если она невырождена и обратная к ней неотрицательна. Все матрицы, являющиеся одновременно как Z-матрицами, так и L-матрицами, это невырожденные M-матрицы.

См. также

• P-матрица
• M-матрица
• Матрицы Гурвица
• Матрицы Метцлера

Литература

• Huan T., Cheng G., Cheng X. Modified SOR-type iterative method for Z-matrices (неопр.) // Applied Mathematics and Computation. — 2006. — 1 April (т. 175, № 1). — С. 258—268. — doi:10.1016/j.amc.2005.07.050.
• Saad, Y. Iterative methods for sparse linear systems (англ.). — 2nd. — Philadelphia, PA.: Society for Industrial and Applied Mathematics. — P. 28. — ISBN 0-534-94776-X.