Theorema Egregium

Theorema Egregium (в переводе с латыни «замечательная теорема») — исторически важный результат в дифференциальной геометрии, доказанный Гауссом. В современной формулировке теорема утверждает следующее:

Гауссова кривизна является внутренним инвариантом поверхности. Иными словами, гауссова кривизна может быть определена исключительно путём измерения углов, расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве.

Существует явная формула, выражающая гауссову кривизну через первую квадратичную форму, именно, через её коэффициенты и их частные производные первого и второго порядков. Это так называемая формула Бриоски.

В некоторых частных случаях, например в полугеодезических координатах, то есть в локальных координатах с первой квадратичной формой вида

[math]\displaystyle{ du^2 + b(u,v)dv^2 }[/math]

гауссовова кривизна выражается более простой формулой

[math]\displaystyle{ K = - \tfrac1b\cdot\tfrac{\partial^2}{\partial u^2}b. }[/math]

Для вывода теоремы этого достаточно.

Теорема следует из формулы Гаусса — Бонне, если применить её к малым геодезическим треугольникам. Однако обычно выражение для гауссововой кривизны доказывается до формулы Гаусса — Бонне.

История

Гаусс сформулировал теорему следующим образом (перевод с латыни):

Таким образом, формула из предыдущей статьи влечёт замечательную теорему.

Если криволинейная поверхность разворачивается по любой другой поверхности, то мера кривизны в каждой точке остается неизменной. Теорема «замечательна», поскольку авторское определение гауссовой кривизны использует положение поверхности в пространстве. Поэтому довольно удивительно, что результат никак не зависит от изометричной деформации.

Литература

• В. А. Топоногов. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

• А. В. Чернавский. Дифференциальная геометрия, 2 курс.

• Carlo Friedrico Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas 1827