MHAT-вейвлет
MHAT-вейвлет (Mexican HAT — «Мексиканская шляпа») — вейвлет-функция, получаемая двукратным дифференцированием функции Гаусса:
- [math]\displaystyle{ \psi(t) = -\frac{d^2}{dt^2} e^{-t^2/2} = (1 - t^2) e^{-t^2/2} }[/math]
Преобразование Фурье для этого вейвлета имеет следующий вид:
- [math]\displaystyle{ \hat{\psi}(\omega) = \sqrt{2\pi} \omega^2 e^{-\omega^2/2} }[/math]
Этот вейвлет имеет хорошую локализацию и по времени, и по частоте. Мерой локализации служат центры и радиусы, которые для функций[math]\displaystyle{ z(t) \in L^2(R) }[/math] выражается следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \langle t \rangle = \frac{1}{||z||^2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} t |z(t)|^2 dt,\ \Delta^2_t = \frac{1}{||z||^2} \int\limits_{-\infty}^{\infty} [t - \langle t \rangle]^2 |z(t)|^2 dt }[/math]
Для MHAT-вейвлета центры и радиусы во временной области (t) и в частотной (ω) имеют следующие значения:
- [math]\displaystyle{ \langle t \rangle = 0,\ \Delta_t = 1.08,\ \langle \omega \rangle = 1.51,\ \Delta_\omega = 0.49 }[/math]
Первый и второй моменты у этого вейвлета также нулевые.
Функция получила своё название — Мексиканская шляпа — из-за сходства её графика с сомбреро.
Ссылки
- Витязев В. В. Вейвлет-анализ временных рядов. — Издательство Санкт-Петербургского государственного университета, 2001. — С. 11. — 58 с.
- Вейвлет-преобразование.