H-теорема
В термодинамике и кинетической теории, [math]\displaystyle{ H }[/math]-теорема, полученная Больцманом в 1872 году, описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых процессах, исходя из уравнения Больцмана.
На первый взгляд может показаться, что она описывает необратимое возрастание энтропии исходя из микроскопических обратимых уравнений динамики. В своё время этот результат вызвал бурные споры.
Формулировка
При временно́й эволюции к равновесному состоянию энтропия внешне замкнутой системы возрастает и остается неизменной при достижении равновесного состояния[1].
H-теорема
Величина [math]\displaystyle{ H }[/math] определяется как интеграл по пространству скоростей:
- [math]\displaystyle{ H\,\overset{\mathrm{def}}{=}\int P(\ln P)\,d^3v=\langle\ln P\rangle, }[/math]
где [math]\displaystyle{ P(v) }[/math] — вероятность.
Используя уравнение Больцмана, можно показать, что [math]\displaystyle{ H }[/math] не может возрастать.
Для системы из [math]\displaystyle{ N }[/math] статистически независимых частиц, [math]\displaystyle{ H }[/math] соотносится с термодинамической энтропией [math]\displaystyle{ S }[/math] посредством:
- [math]\displaystyle{ S\,\overset{\mathrm{def}}{=}-NkH, }[/math]
таким образом, согласно [math]\displaystyle{ H }[/math]-теореме, [math]\displaystyle{ S }[/math] не может убывать.
Однако Лошмидт выдвинул возражение, что невозможно вывести необратимый процесс из симметричных во времени уравнений динамики. Решение парадокса Лошмидта заключается в том, что уравнение Больцмана основано на предположении «молекулярного хаоса», то есть для описания системы достаточно одночастичной функции распределения. Это допущение по сути и нарушает симметрию во времени.
Формулировка
[math]\displaystyle{ \frac{\partial H}{\partial t}+\frac{\partial H_{i}}{\partial x_{i}} \leqslant 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ H=\int f \ln f \frac{dp}{m} }[/math], [math]\displaystyle{ H_{i}=\int \frac{p_{i}}{m} f \ln f \frac{dp}{m} }[/math], [math]\displaystyle{ f }[/math] - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана[2]
- [math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}} \cdot \frac{\mathbf{p}}{m} + \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} \cdot \mathbf{F} = Q(f, f). }[/math]
Доказательство
Доказательство следует из неравенства Больцмана [math]\displaystyle{ \int \ln f Q(f,f)\frac{dp}{m} \leqslant 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ f }[/math] - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, [math]\displaystyle{ Q(f,f) }[/math] - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на [math]\displaystyle{ 1+\ln f }[/math] и интегрируем по всем возможным скоростям [math]\displaystyle{ \frac{p}{m} }[/math]. При этом используется, что [math]\displaystyle{ d(f \ln f)=(1+\ln f)df }[/math], неравенство Больцмана [math]\displaystyle{ \int \ln f Q(f,f)\frac{dp}{m} \leqslant 0 }[/math], [math]\displaystyle{ 1 }[/math] - инвариант столкновений, обращение [math]\displaystyle{ f }[/math] в нуль при стремлении скорости к бесконечности[2].
См. также
Примечания
- ↑ Климонтович, 2002, с. 32.
- ↑ 2,0 2,1 Теория и приложения уравнения Больцмана, 1978, с. 158.
Литература
- Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.
- Климонтович Ю. Л. Введение в физику открытых систем. — М.: Янус-К, 2002. — 284 с. — ISBN 5-8037-0101-7.