Неравенство Больцмана
Нера́венство Бо́льцмана — неравенство, связывающее любую функцию распределения, удовлетворяющую уравнению Больцмана, и интеграл столкновений.
Формулировка
Для любой функции распределения [math]\displaystyle{ f }[/math], удовлетворяющей уравнению Больцмана, выполняется неравенство
- [math]\displaystyle{ \int (\ln f) Q(f,f) \frac{{\rm d}\mathbf{p}}{m} \leqslant 0, }[/math]
где [math]\displaystyle{ Q(f,f) }[/math] — интеграл столкновений, [math]\displaystyle{ \mathbf{p} }[/math] — импульс, [math]\displaystyle{ m }[/math] — масса частиц. Знак равенства при этом достигается в том и только том случае, когда [math]\displaystyle{ f(\mathbf{p})=\exp\left({a+\left(\mathbf{b},\frac{\mathbf{p}}{m}\right)+c\,\frac{p^2}{m^2}}\right), }[/math] что соответствует распределению Максвелла (здесь [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math] — скалярные, а [math]\displaystyle{ \mathbf{b} }[/math] — векторная константы; внутренние круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов)[1].
Доказательство
Доказательство есть в известной книге К. Черчиньяни[англ.][2].
Примечания
- ↑ Karniadakis G. M., Beskok A., Aluru N. . Microflows and Nanoflows: Fundamentals and Simulation. — New York: Springer Science & Business Media, 2005. — xxi + 818 p. — (Interdisciplinary Applied Mathematics, vol. 29). — ISBN 978-0387-22197-7. — P. 589.
- ↑ Черчиньяни, 1978, с. 93.
Литература
- Черчиньяни К. . Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.