Эргодическая мера

Эргодическая мера — в теории динамических систем инвариантная мера [math]\displaystyle{ \mu }[/math], не представимая в виде комбинации нескольких различных инвариантных мер, то есть, если некоторое инвариантное множество [math]\displaystyle{ A }[/math] имеет положительную меру [math]\displaystyle{ \mu(A) \gt 0 }[/math], то мера его дополнения равна нулю [math]\displaystyle{ \mu (P \setminus A) = 0 }[/math].

Примеры

• Рассмотрим динамическую систему: [math]\displaystyle{ \dot x = x - x^{3} }[/math]. У неё есть три неподвижные точки:

[math]\displaystyle{ x_{1}=0, x_{2}=1, x_{3} = -1 }[/math] и три соответствующие им эргодических меры [math]\displaystyle{ p_{1}(x)=\delta(x), p_{2} (x)=\delta(x-1), p_{3}(x)=\delta(x+1) }[/math].

• Рассмотрим динамическую систему, проходящую периодическую траекторию — цикл [math]\displaystyle{ x_{1}, x_{2}, ..., x_{n} }[/math].

Эргодическая мера имеет вид: [math]\displaystyle{ p(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\delta(x - x_{i}) }[/math].

См. также

• Эргодичность

Литература

• Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Нелинейная динамика и хаос: основные понятия. — М.: Либроком, 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01583-7.