Гармонические движения простые и составные. Представим себе, что по кругу радиуса а (на черт. 1 изображен круг, имеющий центр в О) движется точка N с постоянной скоростью в сторону, указанную стрелкой, причем полный оборот по окружности она совершает в течение времени Т. Проекция M точки N на направление прямой X1OX будет тогда совершать вдоль по ней, вверх и вниз, колебательное движение, называемое простым гармоническим движением и выражаемое следующим уравнением:
-
I
({{{3}}})
-
если считать время от того момента, когда точка N была в C, а положительные расстояния x по прямой X1OX считать по направлению OX.
Если же считать время от какого-либо другого момента, то это же движение выразится уравнением:
-
II
({{{3}}})
-
где ε есть фаза, или эпоха, гармонического колебания, а — амплитуда и Т — период, или продолжительность, двойного качания точки М.
На черт. 2 движение, выражаемое уравнением (I), изображено графически. От точки А по прямой At откладываются длины, пропорциональные временам t; так, длина АР изображает время Т, а длина Ар — время, в течение которого движущаяся по кругу точка перешла из С в N на черт. 1. Затем от каждой точки, такой как р, откладывают ординату рК, равную соответственному расстоянию ОМ. Построенная кривая будет синусоида; на черт. 2 изображена только часть ее, соответствующая одному полному периоду и представляющая одну волну кривой.
Два или несколько прямолинейных гармонических движений по одной и той же прямой, около того же центра, того же периода, но различных амплитуд и разных фаз, соединяются в одно простое гармоническое движение того же периода. Если а1, а2, а3,… суть амплитуды составляющих гармонических движений, а ε1, ε2, ε3,… — их фазы, то квадрат амплитуды составного простого гармонического движения будет равен:
- [math]\displaystyle{ \alpha^2+\beta^2, }[/math]
а тангенс фазы этого движения равен отношению β к α, где α и β суть следующие суммы:
- [math]\displaystyle{ \alpha=a_1\cos\epsilon_1+a_2\cos\epsilon_2+\dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ \beta=a_1\sin\epsilon_1+a_2\sin\epsilon_2+\dots }[/math]
Из соединения нескольких простых Г. движений различного периода по одной и той же прямой получаются сложные прямолинейные гармонические движения, а из соединения двух простых Г. движений, совершающихся по двум взаимно перпендикулярным или наклонным одна к другой прямым, получаются криволинейные Г. движения. На черт. 3 графически представлено сложное прямолинейное Г. движение, выражаемое уравнением:
- [math]\displaystyle{ x = \sin\omega t + \sin 2\omega t, }[/math]
|
|
а на черт. 4 — другое сложное Г. движение, выражаемое уравнением:
- [math]\displaystyle{ x = \sin 2\omega t + \sin\left(3\omega t + \frac{3\pi}{8}\right), }[/math]
где ω = 2π:T.
При соединении двух простых Г. движений различных соизмеримых периодов движущаяся точка описывает кривые линии, называемые кривыми Лиссажу. Полную теорию Г. движений можно найти в «Treatise on natural philosophy by Thomson and Tait» (Vol. I. Part I, kinematics).
Гармоническое отношение (см. т. 1 стр. 722). Понятие о Г. отношении введено древними геометрами. Папп в своей книге «Математический сборник» говорит, что три числа находятся в Г. отношении, если отношение первого к третьему равно отношению разности первого без второго и третьего; такое отношение названо Г. потому, что оно встречалось в теории музыки древних.
Две точки a и а1 делят длину bc в Г. отношении, если длины ас, аа1 и ab находятся в Г. отношении, т. е.:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{\frac{ac}{ab}=\frac{ac-aa_1}{aa_1-ab}}, }[/math]
или
-
III
({{{3}}})
-
или
- [math]\displaystyle{ \mathrm{\frac{ab}{ac}:\frac{a_1b}{a_1c}=-1}. }[/math]
Гармоническому отношению между тремя длинами ас, аа1, ab можно придать еще следующий вид:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{\frac{2}{aa_1}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}}, }[/math]
что нетрудно получить из (III). Г. отношение играет важную роль в высшей геометрии; см. Chasles «Traité de géometrie supérieure».
Гармонические сферические функции. Под именем spherical harmonie functions английские физико-математики подразумевают однородные функции V от х, y, z, удовлетворяющие дифференциальному уравнению:
- [math]\displaystyle{ \mathrm{\frac{d^2V}{dx^2}+\frac{d^2V}{dy^2}+\frac{d^2V}{dz^2}=0}. }[/math]
См. Сферические функции.
Гармонические движения отдельной частицы происходят под влиянием силы, направленной к положению равновесия частицы и изменяющейся прямо пропорционально расстоянию ее от него. Подобного рода силы возникают при растяжении, сжатии, сгибании упругих тел, при отклонении гибкой натянутой струны из ее положения равновесия и во многих подобных случаях. Поэтому гармоническое движение встречается в природе очень часто: все звуковые колебания, каковы колебания камертонов, струн и т. п. представляют гармоническое движение. Качания маятника при малых размахах, сравнительно с длиной его, происходят по тем же законам. Вследствие пропорциональности движущей силы расстояниям тела от положения равновесия гармоническое движение обладает замечательным свойством — изохронностью колебаний, т. е. продолжительность периода движения одинакова и при больших и при малых амплитудах колебания. По этой причине одно и то же звучащее тело (камертон, струна и т. п.) издают всегда тон одной и той же высоты, хотя и различной силы (тихий или громкий) в зависимости от силы удара. Продолжительность периода гармонического колебания (Т) зависит исключительно от ускорения (k) на расстоянии единицы длины (1 см) от положения равновесия движущихся частиц, именно
- [math]\displaystyle{ \mathrm{T = 2\pi : \sqrt{k}}. }[/math]
Ускорение же движения пропорционально двигающей силе и обратно пропорционально двигаемой массе. Этим и пользуются на практике: при настройке музыкальных инструментов изменяют натяжение струн; для изменения скорости хода карманных часов изменяют длину пружинки маятника и т. д.