Сферические функции (Kugelfunctionen). — Выражение:
[math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1-2\alpha\mu+\alpha^2}} }[/math]
в котором α меньше единицы, a μ = Cosθ есть косинус некоторого угла θ, может быть разложено в следующий ряд, расположенный по возрастающим степеням α:
1 + αР1 + α2Р2 + α3P3 +… + αnPn +…,
в котором P с разными индексами суть следующие функции от μ:
[math]\displaystyle{ P_1 = \mu,\, }[/math] [math]\displaystyle{ P_2 = \tfrac{1}{2}(3\mu^2-1) }[/math]
[math]\displaystyle{ P_3 = \tfrac{1}{2}(5\mu^3-3\mu) }[/math]…
и вообще Рn может быть представлено так:
[math]\displaystyle{ P_n = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{d\mu^n}(\mu^2-1)^n }[/math], где n! = 1·2·3 … n.
Функции эти, введенные Лапласом при рассмотрении вопросов о притяжении, носят название С. функций. Полную теорию этих функций можно найти в книге Heine «Handbuch d. Kugelfunctionen», a в книгах Thomson and Tait («Treatise on natural philosophy»), Lamb («Hydrodynamics», 1895) и Cl. Maxwell, «Traité d’électricité et de magnétisme» (trad. p. Lui Séligmann) объяснено значение этих функций в теории потенциала, притяжения, электричества, магнетизма и в гидродинамике; там же полная и рациональная теория С. функций.