Хорновский дизъюнкт

Хорновский дизъюнкт — дизъюнктивный одночлен с не более чем одним положительным литералом. Изучены Альфредом Хорном (англ. Alfred Horn) в 1951 году в связи с их важной ролью в теории моделей и универсальной алгебре. Впоследствии стали основой для языка логического программирования Пролог, в котором программа являются непосредственно набором хорновских дизъюнктов, а также нашли важные приложения в конструктивной логике и теории сложности вычислений.

Конструкция и определения

Для положительных литералов [math]\displaystyle{ P, L_i, i \in \{1, 2,\dots n\} }[/math] хорновские дизъюнкты могут иметь один из следующих видов:

1. [math]\displaystyle{ L_1 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \neg L_1 \vee \neg L_2 \vee \dots \vee \neg L_n }[/math]
3. [math]\displaystyle{ P \vee \neg L_1 \vee \neg L_2 \vee \dots \vee \neg L_n }[/math]

Дизъюнкт Хорна с ровно одним положительным литералом есть определённый дизъюнкт; в универсальной алгебре определённые дизъюнкты являются квазитождествами. Дизъюнкт Хорна без положительных литералов иногда называется целью или запросом, в частности в логическом программировании. Формула Хорна — конъюнкция дизъюнктов Хорна, то есть формула в конъюнктивной нормальной форме, все дизъюнкты которой являются хорновскими. Двойственным хорновским дизъюнктом называют дизъюнкцию с не более чем одним отрицательным литералом.

Пример (определённого) дизъюнкта Хорна:

[math]\displaystyle{ \neg p \lor \neg q \vee \cdots \vee \neg t \vee u }[/math].

Эта формула может быть преобразована в эквивалентную формулу с импликацией:

[math]\displaystyle{ (p \wedge q \wedge \cdots \wedge t) \rightarrow u }[/math]

или:

[math]\displaystyle{ (p \rightarrow u) \wedge (q \rightarrow u) \wedge \cdots \wedge (t \rightarrow u) }[/math].

Приложения

Хорновские дизъюнкты могут быть пропозициональными формулами, либо формулами первого порядка, в зависимости от того, рассматриваются ли пропозициональные литералы или литералы первого порядка.

Дизъюнкты Хорна связаны с доказательством теорем через резолюции первого порядка, так как резолюция двух хорновских дизъюнктов является хорновским дизъюнктом. Кроме того, резолюция цели и определённого дизъюнкта также является хорновским дизъюнктом. В автоматическом доказательстве теорем, это может давать большую эффективность в доказательстве теоремы, представленной в виде цели.

Резолюция цели с определённым дизъюнктом для получения новой цели является основной для правила вывода в SLD-резолюции, используемого для реализации логического программирования и языка программирования Пролог. В логическом программировании определённый дизъюнкт используется как процедура редукции цели. Например, дизъюнкт [math]\displaystyle{ \neg p \lor \neg q \vee \cdots \vee \neg t \vee u }[/math] из примера выше работает как процедура: «чтобы показать [math]\displaystyle{ u }[/math], показать [math]\displaystyle{ p }[/math], [math]\displaystyle{ q }[/math], [math]\displaystyle{ \cdots }[/math] и [math]\displaystyle{ t }[/math]».

Чтобы подчеркнуть это обратное применение дизъюнкта, часто используется оператор [math]\displaystyle{ \leftarrow }[/math]:

[math]\displaystyle{ u \leftarrow (p \land q \land \cdots \land t) }[/math]

На Прологе это записывается в виде:

u :- p, q, ..., t.

Пропозициональные дизъюнкты Хорна также представляют интерес для теории сложности вычислений, где задача HORNSAT поиска множества истинностных значений, выполняющих конъюнкцию дизъюнктов Хорна, является P-полной. Это вариант из класса P для SAT — важнейшей NP-полной задачи. Задача выполнимости дизъюнктов Хорна первого порядка не разрешима.

Литература

• Alfred Horn. On sentences which are true of direct unions of algebras // Journal of Symbolic Logic. — 1951. — Т. 16.

Ссылки

• Alex Sakharov. Horn Clause (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.