Функция Розенброка

График функции Розенброка для двух переменных. Глобальный минимум перенесён в точку (0,0).

Функция Розенброка (англ. Rosenbrock function, Rosenbrock's valley, Rosenbrock's banana function) — невыпуклая функция, используемая для оценки производительности алгоритмов оптимизации, предложенная Ховардом Розенброком в 1960 году. Считается, что поиск глобального минимума для данной функции является нетривиальной задачей.

Является примером тестовой функции для локальных методов оптимизации. Имеет минимум 0 в точке (1,1).

Каноническое определение

Значение функции Розенброка для двух переменных в окрестности точки [math]\displaystyle{ (x, y)=(0, 0) }[/math].

Функция Розенброка для двух переменных определяется как:

[math]\displaystyle{ f(x, y) = (1-x)^2 + 100(y-x^2)^2 .\quad }[/math]

Она имеет глобальный минимум в точке [math]\displaystyle{ (x, y)=(1, 1) }[/math] где [math]\displaystyle{ f(x, y)=0 }[/math].

Многомерное обобщение

Встречаются два классических варианта многомерного обобщения функции Розенброка.

В первом случае, как сумма [math]\displaystyle{ N/2 }[/math] несвязанных двумерных функций Розенброка:

[math]\displaystyle{ f(\mathbf{x}) = f(x_1, x_2, \dots, x_N) = \sum_{i=1}^{N/2} \left[100(x_{2i-1}^2 - x_{2i})^2 + (x_{2i-1} - 1)^2 \right]. }[/math]

Более сложным вариантом является:

[math]\displaystyle{ f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{N-1} \left[ (1-x_i)^2+ 100 (x_{i+1} - x_i^2 )^2 \right] \quad \forall x\in\mathbb{R}^N. }[/math]

Существует также вероятностное обобщение функции Розенброка, предложенное англ. Xin-She Yang:

[math]\displaystyle{ f(\mathbf{x}) =\sum_{i=1}^{n-1} \Big[(1-x_i)^2+100 \epsilon_i (x_{i+1}-x_i^2)^2 \Big], }[/math]

где случайные переменные [math]\displaystyle{ \epsilon_i (i=1,2,...,n-1) }[/math] являются равномерно распределёнными Unif(0,1).

См. также

• Градиентный спуск
• Метод Нелдера — Мида

Литература

• Методические указания к исследовательской лабораторной работе по дисциплине «Математические основы кибернетики» // Крушель Е. Г., Степанченко О. В.  (недоступная ссылка с 13-05-2013 [4335 дней] — история)
• Rosenbrock, H. H. (1960), An automatic method for finding the greatest or least value of a function, The Computer Journal Т. 3: 175-184, MR: 0136042, ISSN 0010-4620, DOI 10.1093/comjnl/3.3.175 

Ссылки

• Rosenbrock function plot in 3D (англ.).
• Minimizing the Rosenbrock Function by Michael Croucher, The Wolfram Demonstrations Project (англ.).
• Weisstein, Eric W. Rosenbrock Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. (англ.)
• Solving non-linear models with Compact Quasi Newton solver part 1 (англ.).