Функция Вебера

Функция Вебера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

[math]\displaystyle{ z^2\frac{d^2f}{dz^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-\nu^2)f=-\frac{(z+\nu)+(z-\nu)\cos(\pi z)}{\pi} }[/math]

Интегральное выражение функции Вебера:

[math]\displaystyle{ \mathsf{E}_\nu(z)=\frac1{\pi}\int_0^\pi \sin(\nu\theta-z\cdot\sin\theta) d\theta }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathsf{E}_\nu(z)\cdot\sin(\pi\nu)=\mathsf{J}_{-\nu}(z)-\mathsf{J}_\nu(z)\cdot\cos(\pi\nu) }[/math]

Для целых [math]\displaystyle{ n\geqslant 0 }[/math] функция Вебера связана с функцией Струве соотношениями:

[math]\displaystyle{ \mathsf{E}_n(z)=\frac1{\pi}\sum^{\left[\frac{n-1}{2}\right]}_{k=0}\frac{\Gamma\left(k+\frac1{2}\right)\cdot(z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma\left(n+\frac1{2}-k\right)}-\mathsf{H}_{-n}(z) }[/math]

Литература

Функция Вебера — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

Weisstein, Eric W. WeberFunctions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.