Функция Ангера

Функция Ангера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

[math]\displaystyle{ z^2\frac{d^2f}{dz^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-\nu^2)f=(z-\nu)\frac{\sin(\pi \nu)}{\pi} }[/math]

Интегральное выражение функции Ангера:

[math]\displaystyle{ \mathsf{J}_\nu(z)=\mathsf{J}_{\nu,0}(z)=\frac1{\pi}\int_0^\pi \cos(\nu\theta-z\cdot\sin\theta) d\theta }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathsf{J}_{\nu,0}(z) }[/math] — функция Бурже.

При целых [math]\displaystyle{ \nu }[/math] функция Ангера совпадает с функцией Бесселя. Поэтому часто при определении функции Бесселя даётся укороченный интеграл, идентичный функции Ангера. На самом деле, при нецелых [math]\displaystyle{ \nu }[/math] между ними есть разница:

[math]\displaystyle{ \mathsf{J}_\nu(z)-J_\nu(z)=\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\int_0^\infty \exp(-\nu\theta-z\cdot\mathrm{sh}\theta) d\theta }[/math]

Соотношение с функцией Вебера:

[math]\displaystyle{ \mathsf{J}_\nu(z)\cdot\sin(\pi\nu)=\mathsf{E}_\nu(z)\cdot\cos(\pi\nu)-\mathsf{E}_{-\nu}(z) }[/math]

Литература

• Функция Ангера — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Anger Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.