Функции Йоста

Функции Йоста (решения Йоста, англ. Jost functions, англ. Jost solutions) — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.

Математическое определение

Постановка задачи

Рассматривается одномерный оператор Шрёдингера вида

[math]\displaystyle{ H = - \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d x^2} + u(x),\quad x \in \mathbb R, }[/math]

где потенциал [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] определен на множестве действительных чисел как функция, принадлежащая к классу локально интегрируемых. Соответствующая задача нахождения собственных чисел [math]\displaystyle{ \lambda=k^2 }[/math] будет иметь вид

[math]\displaystyle{ -\psi(x)'' + u(x)\psi(x) = k^2\psi(x). }[/math]

Определение

Наложим на потенциал условие в виде

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty (1+|x|)|u(x)|\mathrm dx \lt \infty, }[/math]

означающее, что функция [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] спадает при [math]\displaystyle{ |x|\to\infty }[/math] быстрее, чем 1/x². Это означает, что для действительных k существуют решения одномерного уравнения Шрёдингера, однозначно определяемые асимптотиками на бесконечности

[math]\displaystyle{ f_1(x,k) = e^{-ikx} +o(1),\quad x\to-\infty, }[/math]

[math]\displaystyle{ f_2(x,k) = e^{ikx} +o(1),\quad x\to\infty, }[/math]

называемые решениями Йоста в честь швейцарского физика Реса Йоста. В общем случае (так же и для комплексных k) можно показать, что при заданном выше условии на [math]\displaystyle{ u(x) }[/math], существует четыре решения одномерного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие интегральным уравнениям

[math]\displaystyle{ f_1(x,k) = e^{-ikx} - \int\limits_{-\infty}^x \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)f_1(\xi,k)\mathrm d\xi, }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{f_1}(x,k) = e^{-ikx} - \int\limits_{-\infty}^x \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)\overline{f_1}(\xi,k)\mathrm d\xi, }[/math]

[math]\displaystyle{ f_2(x,k) = e^{ikx} + \int\limits_x^\infty \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)f_2(\xi,k)\mathrm d\xi, }[/math]

[math]\displaystyle{ \overline{f_2}(x,k) = e^{ikx} + \int\limits_x^\infty \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)\overline{f_2}(\xi,k)\mathrm d\xi, }[/math]

где черта сверху означает комплексное сопряжение. При этом сами функции и их производные по x непрерывны по k при [math]\displaystyle{ \mathrm Im\, k \ge 0 }[/math] и аналитичны при [math]\displaystyle{ \mathrm Im\, k \gt 0 }[/math] и эти решения единственные. Уравнения для функций Йоста можно получить непосредственно из граничных условий и уравнения Шрёдингера с помощью функции Грина в виде

[math]\displaystyle{ G(x,\xi, k) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{\sin k(\xi - x)}{k}, & \xi \lt x\\ 0,& \xi \gt x\end{array} \right., }[/math]

или непосредственной подстановкой.

Использование

Функции Йоста применяются в задачах рассеяния и теории солитонов.