Формула коплощади

Формула коплощади — интегральная формула, связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения. Принцип Кавальери является частным случаем формулы коплощади.

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция, заданная на открытой области [math]\displaystyle{ \R^n }[/math]. Также она верна для липшицевых и соболевских функций.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] есть область в [math]\displaystyle{ \R^n }[/math] и [math]\displaystyle{ u\colon\R^n\to\R^k }[/math] — липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

[math]\displaystyle{ \int\limits_\Omega g(x)\cdot|\wedge^k d_x u|\cdot dx=\int\limits_{\R^k}dt\cdot\left(\int\limits_{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-k}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \wedge^k d_x u }[/math] обозначает внешнее произведение [math]\displaystyle{ k }[/math] копий дифференциала [math]\displaystyle{ d_x u }[/math], а [math]\displaystyle{ H_{n-k} }[/math] — [math]\displaystyle{ (n-k) }[/math]-мерная хаусдорфова мера.

Частные случаи

• Для вещественнозначной функции [math]\displaystyle{ u }[/math], формула коплощади имеет вид

  [math]\displaystyle{ \int\limits_\Omega g(x)\cdot|\nabla u(x)|\cdot dx=\int\limits_{-\infty}^\infty dt\cdot\left(\int\limits_{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-1}\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \nabla u }[/math] — градиент [math]\displaystyle{ u }[/math].

• В случае [math]\displaystyle{ n=k }[/math], мера Хаусдорфа [math]\displaystyle{ H_{n-k}=H_0 }[/math] есть считающая мера, а [math]\displaystyle{ \wedge^k d_x u }[/math] есть якобиан [math]\displaystyle{ u }[/math] в [math]\displaystyle{ x }[/math]. Поэтому формулу можно переписать следующим образом

  [math]\displaystyle{ \int\limits_\Omega g(x)\cdot|\tfrac{\partial u}{\partial x}|\cdot dx=\int\limits_{\R^k}dt\cdot\left(\sum\limits_{x\in u^{-1}(t)}g(x)\right). }[/math]

Данная формула также называется формулой площади.

Литература

• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.