Формула Лиувилля — Остроградского

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

[math]\displaystyle{ y^{(n)}+P_1(x)y^{(n-1)}+P_2(x)y^{(n-2)}+...+P_n(x)y=0, }[/math]

тогда [math]\displaystyle{ W(x)=W(x_0)e^{-\int\limits_{x_0}^x P_1(\zeta)d\zeta}=Ce^{-\int P_1(x)dx}, }[/math] где [math]\displaystyle{ W(x) }[/math] — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

[math]\displaystyle{ y'(x) = A(x) y(x), }[/math] где [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] — непрерывная квадратная матрица порядка [math]\displaystyle{ n }[/math], справедлива формула Лиувилля-Остроградского

[math]\displaystyle{ W(x)=W(x_0)e^{\int\limits_{x_0}^x \mathop{\rm tr} A(\zeta)d\zeta}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \mathop{\rm tr} A(x) }[/math] — след матрицы [math]\displaystyle{ A(x) }[/math]

Правило дифференцирования определителя размерности 2

Производная определителя [math]\displaystyle{ \Delta=\Delta(x)=\begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) \\ a_{21}(x) & a_{22}(x) \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} }[/math] по переменной х имеет вид [math]\displaystyle{ \frac{d \Delta}{d x}=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})'=a_{11}'a_{22}+a_{11}a_{22}'-a_{12}'a_{21}-a_{12}a_{21}'=\begin{vmatrix} a_{11}' & a_{12}' \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}' & a_{22}' \end{vmatrix} }[/math]

Правило дифференцирования определителя размерности [math]\displaystyle{ n }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ \Delta = \Delta(x) = \det \left( \begin{matrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{matrix} \right) }[/math]

Тогда для производной [math]\displaystyle{ \Delta'(x) }[/math] верно

[math]\displaystyle{ \Delta'(x) = \begin{vmatrix} a_{11}'(x) & a_{12}'(x) & \dots & a_{1n}'(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}'(x) & a_{22}'(x) & \dots & a_{2n}'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \dots + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}'(x) & a_{n2}'(x) & \dots & a_{nn}'(x)\\ \end{vmatrix} }[/math]

(в [math]\displaystyle{ i }[/math]-м слагаемом продифференцирована [math]\displaystyle{ i }[/math]-я строка)

Доказательство

Воспользуемся формулой полного разложения определителя

[math]\displaystyle{ \Delta(x) = \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x) }[/math]

Сумма взята по всевозможным перестановкам чисел [math]\displaystyle{ 1,2,\dots,n }[/math], [math]\displaystyle{ P(\cdot) }[/math] — четность перестановки.

Дифференцируя это выражение по [math]\displaystyle{ x }[/math], получим

[math]\displaystyle{ \begin{align}[l] \Delta'(x) &= \sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} \frac{d\left(a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x)\right)}{dx} = \\ &=\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} \left( a_{1 i_1}'(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \dots + a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}'(x) \right) = \\ &=\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}'(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \\ &+\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}'(x) \cdots a_{n i_n}(x) + \\ &+\dots + \\ &+\sum_{i_1, i_2, \dots, i_n} (-1)^{P(i_1, i_2, \dots, i_n)} a_{1 i_1}(x) a_{2 i_2}(x) \cdots a_{n i_n}'(x) \end{align} }[/math]

В каждой сумме продифференцированы элементы [math]\displaystyle{ i }[/math]-й строки и только они. Заменив суммы определителями, получим

[math]\displaystyle{ \Delta'(x) = \begin{vmatrix} a_{11}'(x) & a_{12}'(x) & \dots & a_{1n}'(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}'(x) & a_{22}'(x) & \dots & a_{2n}'(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}(x) & a_{n2}(x) & \dots & a_{nn}(x)\\ \end{vmatrix} + \dots + \begin{vmatrix} a_{11}(x) & a_{12}(x) & \dots & a_{1n}(x)\\ a_{21}(x) & a_{22}(x) & \dots & a_{2n}(x)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}'(x) & a_{n2}'(x) & \dots & a_{nn}'(x)\\ \end{vmatrix} }[/math]

Доказательство для уравнения второго порядка

Пусть в уравнении [math]\displaystyle{ y''+p(x)y'+q(x)y=0 }[/math] функции [math]\displaystyle{ p(x),q(x) }[/math] непрерывны на [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], а

[math]\displaystyle{ y_1=y_1(x),y_2=y_2(x) }[/math] — решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского, получим

[math]\displaystyle{ \frac{d W}{d x}=\frac{d}{dx}\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} y_{1}' & y_{2}' \\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}'' & y_{2}'' \end{vmatrix} }[/math]

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

[math]\displaystyle{ y_1''=-py_1'-qy_1 }[/math]

[math]\displaystyle{ y_2''=-py_2'-qy_2 }[/math]

во второе слагаемое, получим

[math]\displaystyle{ \frac{d W}{d x}=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\ -py_1'-qy_1 & -py_2'-qy_2 \end{vmatrix} }[/math]

Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим

[math]\displaystyle{ \frac{d W}{d x}=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\ -py_1' & -py_2'\end{vmatrix}=-pW }[/math]

решения линейно независимы, поэтому

[math]\displaystyle{ W \ne 0 \to \frac{d W}{W}=-p dx }[/math] — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

[math]\displaystyle{ \ln |W|=-\int p(x)dx +\ln|C| \to \ln\left|\frac{W}{C}\right|=-\int p(x)dx \to W=C e^{-\int p(x)dx} }[/math]

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции [math]\displaystyle{ {\mathbf y}_1(x), {\mathbf y}_2(x), \dots, {\mathbf y}_n(x) }[/math] — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] следующим образом

[math]\displaystyle{ \Phi(x) = \left\| \begin{matrix} {\mathbf y}_1(x)& {\mathbf y}_2(x)& \dots& {\mathbf y}_n(x) \end{matrix} \right\| }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ W(x) \equiv \det \Phi(x) }[/math]. Воспользуемся тем, что [math]\displaystyle{ y_i(x) }[/math] — решения системы ОДУ, то есть [math]\displaystyle{ {\mathbf y}_i'(x) = A(x){\mathbf y}_i(x) }[/math].

В матричном виде последнее представимо в виде [math]\displaystyle{ \left\| \begin{matrix} {\mathbf y}_1'(x)& {\mathbf y}_2'(x)& \dots& {\mathbf y}_n'(x) \end{matrix} \right\| = \left\| \begin{matrix} A(x){\mathbf y}_1(x)& A(x){\mathbf y}_2(x)& \dots& A(x){\mathbf y}_n(x) \end{matrix} \right\| = A(x) \Phi(x) }[/math]

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

[math]\displaystyle{ \Phi'(x) = A(x) \Phi(x) }[/math]

Пусть [math]\displaystyle{ \varphi_i(x) }[/math] — [math]\displaystyle{ i }[/math]-я строка матрицы [math]\displaystyle{ \Phi(x) }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \varphi_i'(x) = \sum_{j=1}^n a_{ij}(x) \varphi_j(x) }[/math]

Последнее означает, что производная от [math]\displaystyle{ i }[/math]-й строки матрицы [math]\displaystyle{ \Phi(x) }[/math] есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из [math]\displaystyle{ i }[/math]-й строки матрицы [math]\displaystyle{ A(x) }[/math]. Рассмотрим определитель матрицы [math]\displaystyle{ \Phi(x) }[/math], в которой [math]\displaystyle{ i }[/math]-я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из [math]\displaystyle{ i }[/math]-й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

[math]\displaystyle{ \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \varphi_i'(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\varphi_j(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^n a_{ij}(x)\varphi_j(x) -\sum_{j\neq i} a_{ij}(x)\varphi_j(x) \\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} \varphi_1(x)\\ \varphi_2(x)\\ \vdots\\ a_{ii}(x) \varphi_i(x)\\ \vdots\\ \varphi_n(x)\\ \end{matrix} \right| = a_{ii}(x) W(x) }[/math]

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

[math]\displaystyle{ W'(x) = a_{11}(x) W(x) + a_{22}(x) W(x) + \dots + a_{nn}(x)W(x) = \operatorname{tr}A(x)W(x) }[/math]

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

[math]\displaystyle{ W(x) = W(x_0) e^{\int\limits_{x_0}^x\operatorname{tr}A(\zeta) d\zeta} }[/math]

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение [math]\displaystyle{ n }[/math]-го порядка

[math]\displaystyle{ y^{(n)}(x) + P_1(x)y^{(n-1)}(x) + \dots + P_{n-1}(x) y'(x) + P_n(x) y(x) = 0 }[/math]

эквивалентно следующей системе

[math]\displaystyle{ \begin{align} y_{n-1}'(x) &= -P_1(x) y_{n-1}(x) - \dots - P_{n-1}(x) y_1(x) - P_n(x) y_0(x)\\ y_{n-2}'(x) &= y_{n-1}\\ \vdots\\ y_{1}'(x) &= y_{2}\\ y_{0}'(x) &= y_{1}\\ \end{align} }[/math]

с матрицей [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] следующего вида

[math]\displaystyle{ A(x)=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \dots & 0 & 1\\ -P_n(x) & -P_{n-1}(x) & \dots & -P_2(x) & -P_1(x) \\ \end{matrix} \right) }[/math]

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] равен [math]\displaystyle{ -P_1(x) }[/math]. Подстановкой в формулу для системы получаем

[math]\displaystyle{ W(x) = W(x_0) e^{-\int_{x_0}^x P_1(\zeta) d\zeta} }[/math]

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение [math]\displaystyle{ y_1(x) }[/math] линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. [math]\displaystyle{ n=2 }[/math]. Используя формулу Лиувилля-Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение [math]\displaystyle{ y_2(x) }[/math] той же системы.

Распишем вронскиан:

[math]\displaystyle{ Ce^{-\int P_1(x)dx}=y_1y_2'-y_1'y_2=W. }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{W}{y_1^2}=\frac{y_1y_2'-y_1'y_2}{y_1^2}= \left(\frac{y_2}{y_1}\right)', }[/math] поэтому

[math]\displaystyle{ \frac{y_2}{y_1}=\int \frac{W}{y_1^2} dx +B }[/math][math]\displaystyle{ \longrightarrow y_2=y_1\left(\int \frac{W}{y_1^2} dx +B\right)= y_1\int \frac{C e^{-\int P_1(x)dx}}{y_1^2}dx+B y_1 }[/math]

Так как для линейной независимости [math]\displaystyle{ y_1(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ y_2(x) }[/math] достаточно [math]\displaystyle{ W \neq 0 }[/math], приняв [math]\displaystyle{ C=1,\, B=0 }[/math], получим [math]\displaystyle{ y_2=y_1\int \frac{ e^{-\int P_1(x)dx}}{y_1^2}dx. }[/math]

Пример

Пусть в уравнении [math]\displaystyle{ y''-\mathop{ \rm{tg}} x\, y'+2y=0 }[/math] известно частное решение [math]\displaystyle{ y_1=\sin x }[/math]. Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

[math]\displaystyle{ y_2=\sin x\int \frac{dx}{\sin^2 x e^{-\int \tan x dx}}=\sin x \, \ln \left|\tan x +\frac{1}{\cos x}\right| \, -1. }[/math]

Тогда общее решение однородного уравнения [math]\displaystyle{ y=C_1\left(\sin x \,\ln \left|\tan x + \frac{1}{\cos x}\right| \, -1\right)+C_2 \sin x }[/math]

Используемая литература

• Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. — 366 с. — (Математика в техническом университете; Вып. VIII).
• Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 344 с.