Формула Клейна — Нисины

Зависимость дифференциального сечения рассеяния от угла рассеяния для различных значений энергий фотона

Фо́рмула Кле́йна — Ниси́ны — формула, описывающая древесную часть полного сечения комптоновского рассеяния света на электроне. Установлена Оскаром Клейном и Ёсио Нисиной в 1928 году.

Рассеяние электромагнитных волн на заряженных частицах, при котором падающая и рассеянная волна имеют разные частоты, называется комптоновским рассеянием. Дифференциальное и полное сечение такого рассеяния рассчитывается в квантовой электродинамике. Оно наблюдается при рассеянии рентгеновских лучей на электронных оболочках атомов и рассеянии гамма-лучей на электронах и атомных ядрах.

Изменение длины волны [math]\displaystyle{ \Delta \lambda }[/math] при комптоновском рассеянии определяется формулой:

[math]\displaystyle{ \Delta \lambda = 2\lambda_0 \sin^2 (\theta /2), \lambda_0 = h/m_0c, \lambda_0 = 2,426\cdot 10^{-12} }[/math] м,

где [math]\displaystyle{ \lambda_0 }[/math] — комптоновская длина волны электрона, [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — угол между направлением падающей и рассеянной волнами, [math]\displaystyle{ h }[/math] — постоянная Планка, [math]\displaystyle{ m_0 }[/math] — масса электрона, а [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света.

Частота излучения [math]\displaystyle{ \omega^\prime }[/math] после рассеяния определяется формулой Комптона:

[math]\displaystyle{ \omega^\prime = \frac{\omega}{1 + \epsilon (1 - \cos \theta)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \epsilon = \hbar \omega/m_0c^2, }[/math] [math]\displaystyle{ \hbar = h/2\pi, }[/math] а [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — частота падающей волны. Полное сечение комптоновского рассеяния на свободном электроне:

[math]\displaystyle{ \sigma_k = 2\pi r_0^2 \left(\frac{1+\epsilon}{\epsilon^2}\left(\frac{2+2\epsilon}{1+2\epsilon} - \frac{\operatorname{ln}(1+2\epsilon)}{\epsilon}\right) + \frac{\operatorname{ln}(1+2\epsilon)}{2\epsilon} - \frac{1+3\epsilon}{(1+2\epsilon)^2}\right) }[/math].

Формула подтверждается экспериментально обнаруженным отклонением рассеяния фотонов на электронах при высоких энергиях от низкоэнергетичного томсоновского рассеяния, описываемого в рамках классической электродинамики. Если энергия [math]\displaystyle{ \hbar \omega }[/math] падающего фотона значительно меньше массы электрона [math]\displaystyle{ m_0c^2 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \hbar \omega \ll m_0c^2, }[/math] или [math]\displaystyle{ \lambda \gg \lambda_0, }[/math] где [math]\displaystyle{ \lambda_0 }[/math] — комптоновская длина волны электрона, то [math]\displaystyle{ \epsilon \rightarrow 0, }[/math] и формула Клейна — Нишины сводится к классической формуле Томсона (в частности, отношение частот падающей и рассеянной волн [math]\displaystyle{ \omega / \omega^\prime = 1 + \epsilon (1 - \cos \theta) }[/math] при этом теряет угловую зависимость и стремится к единице).

При высоких энергиях, когда [math]\displaystyle{ \hbar \omega \gg m_0c^2 }[/math], формула для полного сечения приобретает вид:

[math]\displaystyle{ \sigma_k = \frac{\pi r_0^2}{\epsilon}\left(\frac{1}{2} + \operatorname{ln}(2\epsilon)\right) = \pi r_0^2 \frac{m_0c^2}{\hbar \omega }\left(\operatorname{ln}\;\frac{2\hbar \omega }{m_0c^2} + \frac{1}{2} \right) }[/math].

Интенсивность [math]\displaystyle{ I^\prime }[/math] рассеянного излучения на расстоянии [math]\displaystyle{ R }[/math] от центра рассеяния связана с интенсивностью [math]\displaystyle{ I }[/math] падающей волны и отношением частот [math]\displaystyle{ \omega^\prime / \omega }[/math] соотношением

[math]\displaystyle{ I^\prime = \frac{I}{R^2}\frac{\omega^\prime}{\omega}\frac{d\sigma}{d\Omega} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \frac{d\sigma}{d\Omega} }[/math] — дифференциальное сечение рассеяния.

Литература

• Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики. — Киев: Наук. думка, 1989. — 864 с.