Фильтр Лежандра

Сравнение амплитудно-частотных характеристик фильтров Баттерворта, Чебышёва и Лежандра с коэффициентом передачи в полосе пропускания равным 1. Частота нормирована к частоте среза.

Фильтр Лежа́ндра — электронный фильтр, для расчёта коэффициентов которого используются многочлены Лежандра. Был предложен Атанасиосом Папулисом в 1958 году. Имеет крутой спад амплитудно-частотной характеристики, не обладает пульсациями характеристики. Является компромиссным решением между фильтром Баттерворта (имеющим монотонную характеристику) и Чебышёва (обладающим крутым спадом характеристики).

Передаточная функция

Квадрат амплитудно-частотной характеристики для фильтра порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] выражается через полиномы Лежандра [math]\displaystyle{ L_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ M^2_n(\omega)=\frac{1}{1+L_n(\omega^2)}, }[/math]

выбор порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] полинома [math]\displaystyle{ L_n }[/math] производится согласно некоторому критерию качества фильтра, в частности монотонности передаточной характеристики в полосе пропускания и максимально быстрому спаду в полосе подавления. Эти ограничения выражаются:

[math]\displaystyle{ L_n(0) = 0, }[/math]

[math]\displaystyle{ L_n(1) = 1. }[/math]

Условие монотонности:

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega } L_n(\omega^2) \ge 0. }[/math]

И условие максимальной крутизны в полосе подавления при [math]\displaystyle{ \omega \ge 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\omega } L_n(\omega^2) \right|_{\omega = 1} = \text{Maximum}. }[/math]

См. также

• Линейный фильтр
• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• БИХ-фильтр

Литература

• Kuo, Franklin F. Network Analysis and Synthesis. — Wiley, 1966. — ISBN 0471511188.

Ссылки

• Фильтр Лежандра (англ.)
• Сравнение линейных фильтров (англ.)