Физический маятник

Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Физический маятник.
[math]\displaystyle{ O }[/math] — ось подвеса;
[math]\displaystyle{ N }[/math] — реакция оси подвеса;
[math]\displaystyle{ G }[/math] — центр тяжести;
[math]\displaystyle{ O' }[/math] — центр качания;
[math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — приведённая длина;
[math]\displaystyle{ \theta }[/math] — угол отклонения маятника от равновесия;
[math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — начальный угол отклонения маятника;
[math]\displaystyle{ m }[/math] — масса маятника;
[math]\displaystyle{ h }[/math] — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
[math]\displaystyle{ g }[/math] — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса, по теореме Штейнера:

[math]\displaystyle{ I = I_0 + mh^2 = m\left(r^2+h^2\right) }[/math],

где [math]\displaystyle{ I_0 }[/math] — момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести; [math]\displaystyle{ r }[/math] — эффективный радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Динамическое уравнение произвольного вращения твёрдого тела:

[math]\displaystyle{ I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -M_s }[/math],

где [math]\displaystyle{ M_s }[/math] — суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси вращения.

[math]\displaystyle{ M_s = M + M_f }[/math],

где [math]\displaystyle{ M }[/math] — момент сил, вызванный силой тяжести; [math]\displaystyle{ M_f }[/math] — момент сил, вызванный силами трения среды.

Момент, вызванный силой тяжести, зависит от угла отклонения тела от положения равновесия:

[math]\displaystyle{ M = mgh\sin\theta }[/math].

Если пренебречь сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести:

[math]\displaystyle{ I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgh\sin\theta }[/math].

Если разделить обе части уравнения на [math]\displaystyle{ h }[/math] и положить

[math]\displaystyle{ \lambda = \frac{r^2 + h^2}{h} = \frac{r^2}{h} + h }[/math],

получим:

[math]\displaystyle{ \lambda\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g\sin\theta }[/math].

Такое уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]. Величина [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника. Теорема Гюйгенса

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести, точку на расстоянии [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром тяжести. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен [math]\displaystyle{ I = m\lambda^2 }[/math], а момент силы тяжести относительно той же оси [math]\displaystyle{ -mg\lambda\sin\theta }[/math]. При этом уравнение движения не изменится.

Согласно теореме Гюйгенса,

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Вычислим приведённую длину для нового маятника:

[math]\displaystyle{ \lambda_1 = \frac{r^2}{r^2/h} + \frac{r^2}{h} = h + \frac{r^2}{h} = \lambda }[/math].

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника

Наиболее общий случай

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.

Для этого умножим левую [math]\displaystyle{ \lambda\frac{d^2\theta}{dt^2} = \lambda\frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right) }[/math] и правую часть этого уравнения на [math]\displaystyle{ d\theta }[/math]. Тогда:

[math]\displaystyle{ \lambda\frac{d\theta}{dt}d\left(\frac{d\theta}{dt}\right) = -g\sin\theta\, d\theta }[/math].

Интегрируя это уравнение, получаем:

[math]\displaystyle{ \lambda\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = 2g\cos\theta+C }[/math],

где [math]\displaystyle{ C }[/math] — произвольная постоянная. Её можно найти из условия, что в ситуациях, когда [math]\displaystyle{ \theta = \pm \alpha }[/math], должно быть [math]\displaystyle{ \frac{d\theta}{dt} = 0 }[/math] ([math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — максимальный угол отклонения). Получаем:

[math]\displaystyle{ C = -2g\cos\alpha. }[/math]

Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

[math]\displaystyle{ \frac{d\theta}{dt} = 2\sqrt{\frac{g}{\lambda}}\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}. }[/math]

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

[math]\displaystyle{ \sqrt{\frac{g}{\lambda}}t = \int\limits_0^\frac{\theta}{2}{\frac{d\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}} }[/math].

Удобно сделать замену переменной полагая [math]\displaystyle{ \sin\frac{\theta}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}\sin\varphi }[/math]. Тогда искомое уравнение принимает вид:

[math]\displaystyle{ t = \sqrt\frac{\lambda}{g}\int\limits_0^\varphi{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = \sqrt\frac{\lambda}{g} F\left(\varphi\setminus \alpha/2\right). }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ F\left(\varphi\setminus \alpha\right) }[/math] — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

[math]\displaystyle{ T = 4\sqrt\frac{\lambda}{g}\,\int\limits_0^{\pi/2}{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = 4\sqrt\frac{\lambda}{g}\,K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right). }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right) }[/math] — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

[math]\displaystyle{ T = 2\pi \sqrt\frac{\lambda}{g} \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots \right\} . }[/math]

Период малых колебаний физического маятника

Если [math]\displaystyle{ \alpha \ll 1 }[/math] — случай малых максимальных угловых отклонений от равновесия [math]\displaystyle{ |\theta| \lt \alpha }[/math] — то [math]\displaystyle{ \sin\theta \approx \theta }[/math] так как разложение синуса в ряд Маклорена [math]\displaystyle{ \sin\theta \approx \theta - \theta^3/3 \dots }[/math] и уравнения движения переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения:

[math]\displaystyle{ \lambda\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g \theta. }[/math]

Период колебания маятника в этом случае:

[math]\displaystyle{ T = 2\pi \sqrt\frac{\lambda}{g}. }[/math]

В иной формулировке: если амплитуда колебаний [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближённо равен единице. Такой интеграл легко берётся, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

[math]\displaystyle{ T = 2\pi\sqrt\frac{\lambda}{g} = 2\pi\sqrt\frac{I}{mgh}. }[/math]

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах отклонения до 1 радиана (≈57°):

[math]\displaystyle{ T \approx 2\pi\sqrt\frac{\lambda}{g} \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right) = \frac{\pi}{4}\sqrt\frac{\lambda}{g} \left( 9 - \cos{\alpha}\right). }[/math]

См. также

• Математический маятник

Ссылки

• маятник — статья из Большой советской энциклопедии.