Лоренц-фактор
Фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, га́мма-фа́ктор — безразмерная физическая величина, используемая в релятивистской кинематике, монотонно возрастающая положительная функция скорости. Названа по имени Г. А. Лоренца. Определяется как
- [math]\displaystyle{ \gamma \equiv \frac {1} {\sqrt{ 1 - v^2 / c^2}}, }[/math]
где v — скорость, c — скорость света в вакууме.
С увеличением скорости от 0 до c лоренц-фактор γ увеличивается от 1 до [math]\displaystyle{ +\infty. }[/math]
Связан с безразмерной скоростью β = v/c следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \gamma = \frac {1} {\sqrt{ 1 - \beta^2}}, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \beta = {\sqrt{ 1 - \frac {1}{\gamma^2}}}. }[/math]
Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу быстроты φ:
- [math]\displaystyle{ \gamma=\mathrm{ch}\,\varphi ; }[/math]
- [math]\displaystyle{ \varphi=\mathrm{Arch}\,\gamma . }[/math]
Собственное время частицы обратно пропорционально её лоренц-фактору. Время, измеряемое равномерно движущимися часами в данной инерциальной системе отсчёта, замедляется в γ раз. Если частица (часы) движется с переменной скоростью, её собственное время, прошедшее между событиями А и В на её мировой линии, равно:
- [math]\displaystyle{ \tau = \int_A^B \frac{dt}{\gamma (t) } . }[/math]
Например, собственное время мюона, летящего из верхних слоёв атмосферы со скоростью 0,99 от скорости света, замедляется по сравнению с координатным временем в [math]\displaystyle{ \gamma = \frac {1} {\sqrt{ 1 - 0,99^2}} \approx 7 }[/math] раз, в результате время жизни такого мюона оказывается в 7 раз длиннее времени жизни покоящегося мюона.
Релятивистское сокращение длины движущегося объекта пропорционально его лоренц-фактору. Так, в системе отсчёта вышеупомянутого мюона Земля движется со скоростью 0,99с, и в результате расстояние между верхними слоями атмосферы и поверхностью Земли сокращается в 7 раз.
Отношение полной энергии частицы к её массе равно лоренц-фактору (с точностью до множителя с2). В частности, полная энергия покоящейся частицы равна её массе, а для ультрарелятивистской частицы её масса пренебрежимо мала по сравнению с энергией ([math]\displaystyle{ \gamma \gg 1 }[/math]). Таким образом, полная энергия рассмотренного выше мюона (масса которого mμ = 106 МэВ/c2) примерно равна 7mμc2 = 740 МэВ.
Численные значения
| Скорость (в единицах скорости света) | Лоренц-фактор | Обратный лоренц-фактор |
|---|---|---|
| [math]\displaystyle{ \beta = v/c }[/math] | [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] | [math]\displaystyle{ 1/\gamma }[/math] |
| 0,000 | 1,000 | 1,000 |
| 0,050 | 1,001 | 0,999 |
| 0,100 | 1,005 | 0,995 |
| 0,200 | 1,021 | 0,980 |
| 0,300 | 1,048 | 0,954 |
| 0,400 | 1,091 | 0,917 |
| 0,500 | 1,155 | 0,866 |
| 0,600 | 1,250 | 0,800 |
| 0,700 | 1,400 | 0,714 |
| 0,750 | 1,512 | 0,661 |
| 0,800 | 1,667 | 0,600 |
| 0,866 | 2,000 | 0,500 |
| 0,900 | 2,294 | 0,436 |
| 0,950 | 3,203 | 0,312 |
| 0,980 | 5,025 | 0,199 |
| 0,990 | 7,089 | 0,141 |
| 0,999 | 22,366 | 0,045 |
| 0,99995 | 100 | 0,01 |
| ··· | ··· | ··· |
| 1,000 | ∞ | 0,000 |
См. также
Литература
- Young H. D., Freedman R. A. et al. Sears' and Zemansky's University Physics (англ.). — 12th. — Pearson Ed. & Addison-Wesley, 2008. — ISBN 978-0-321-50130-1.