Фазовый фильтр
Фазовый фильтр — электронный или любой другой фильтр, пропускающий все частоты сигнала с равным усилением, однако изменяющий фазу сигнала. Происходит это при изменении задержки пропускания по частотам. Обычно такой фильтр описывается одним параметром — частотой, на которой фазовый сдвиг достигает 90°. Идеальным фазовым фильтром, который сдвигает все частотные составляющие на 90°, является фильтр Гильберта (ядро свёртки представляет собой функцию h(t) = 1/(πt)).
Обычно используются для компенсации других нежелательных фазовых искажений, возникающих в системе.
Цифровая реализация
Ниже приведена цифровая реализация фазового фильтра с комплексным полюсом [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]. Передаточная функция такого фильтра:
- [math]\displaystyle{ H(z) = \frac{z^{-1}-z_0^*}{1-z_0z^{-1}} \ }[/math]
имеет нуль [math]\displaystyle{ 1/z_0^* }[/math], где [math]\displaystyle{ ^* }[/math] означает комплексное сопряжение. Полюс и нуль передаточной функции имеют одинаковые амплитуды, но обратные фазы, то есть являются "отражениями" друг друга в комплексной плоскости.
Для реализации фазового фильтра с вещественными коэффициентами передаточной функции, фазовый фильтр можно включать в каскад с таким же фильтром, в передаточной функции которого [math]\displaystyle{ z_0^* }[/math] заменено на [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ H(z) = \frac{z^{-1}-z_0^*}{1-z_0z^{-1}} \times \frac{z^{-1}-z_0}{1-z_0^*z^{-1}} = \frac {z^{-2}-2\Re(z_0)z^{-1}+\left|{z_0}\right|^2} {1-2\Re(z_0)z^{-1}+\left|z_0\right|^2z^{-2}}, \ }[/math]
что соответствует следующему разностному уравнению
- [math]\displaystyle{ y[k] - 2\Re(z_0) y[k-1] + \left|z_0\right|^2 y[k-2] = x[k-2] - 2\Re(z_0) x[k-1] + \left|z_0\right|^2 x[k], }[/math]
где [math]\displaystyle{ y[k] }[/math] - выход, а [math]\displaystyle{ x[k] }[/math] - вход фильтра в [math]\displaystyle{ k }[/math]-ый отсчёт времени.
Подобные фильтры можно включать в каскад с неустойчивыми фильтрами для того, чтобы получить устойчивый или минимально-фазовый фильтр не меняя амплитудную характеристику системы.