Устный счёт
У́стный счёт — математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств (компьютер, калькулятор, счёты и т. п.) и приспособлений (ручка, карандаш, бумага и т. п.).
Процесс устного счёта
Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.
Имеются три вида технологии устного счёта, которые используют различные физические возможности человека:
- счёт «на пальцах»;
- аудиомоторная технология счёта;
- визуальная технология счёта.
Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два — четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:
- отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами,
- невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и единицы произведения без повторения всей фразы;
- невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для выполнения деления с остатком;
- медленная скорость воспроизведения словесной фразы.
Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта, лишённой главного недостатка — замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.
Устный счёт в начальной школе
Выработка навыков устного счёта занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе[1]. Именно в первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции[1].
Для обучения детей устному счёту часто используют японские счёты — соробан. Многие эксперты считают, что метод счёта с использованием азиатских абаков (этот метод также называют ментальной арифметикой) появился в Древнем Китае, однако подтверждений этому не существует. Абак представлял собой доску для счёта. Этими приспособлениями пользовались по всему миру, а не только в Китае[2].
Программа обучения ментальной арифметике обычно занимает несколько лет. Сначала дети учатся считать на настоящем абаке. Далее вместо реальной доски обучающиеся начинают использовать её изображение: глядя на рисунок во время вычислений, нужно представлять, как передвигаются костяшки. В конце концов дети начинают представлять абак мысленно, что позволяет им производить умственно те же операции, что и с использованием настоящей доски. Многие эксперты считают, что ментальная арифметика позволяет эффективно развивать логическое мышление, аналитические навыки, а также улучшать память. Учащиеся могут визуализировать задачи, глубже их понимать и мыслить креативно. Эти навыки помогают им лучше концентрировать своё внимание, систематизировать получаемые знания и лучше адаптироваться к меняющимся условиям[2].
Однако некоторые педагоги и учёные относятся к данному методу немного скептически. Так, по словам народного учителя России Леонида Исаковича Звавича, устный счёт — дело полезное, но есть масса других приёмов устного счёта и какой из них лучше, сказать сложно. Успехи ребёнка в обучении во многом зависят от того, какие у него были учителя, но развивающие занятия, безусловно, помогают ему подтянуть разные предметы[2].
Но даже критики данного метода признают, что какая-то польза от ментальной арифметики все же есть, особенно если ребёнку тяжело даётся математика. Кроме того, в процессе обучения у детей вырабатывается привычка трудиться, что обязательно пригодится в дальнейшей жизни[2].
Тренажёры для устного счёта
В разделе не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |
Цифровые вертушки на телефонной матрице.
Цифровые вертушки в базовом варианте представляют собой две телефонных панели, допускающие повороты вокруг центральной оси. Цифровые вертушки являются механическими учебными пособиями, позволяющими в форме игры изучать с детьми методы геометрического сложения и умножения однозначных десятичных чисел. Описаны в патенте РФ[3].
Конструкция цифровой вертушки. Неподвижная основа вертушки представляет собой плоскость с рисунками цифр, расставленных в формате Т-матрицы из трёх строк и трёх столбцов. На основу накладывается поворачивающаяся плоскость (пропеллер) на которой нарисованы стрелочки, подсказывающие ответы. Ось вращения пропеллера совпадает с центром неподвижной Т-матрицы. Единственное доступное движение — это поворот пропеллера вокруг оси[4].
Сложение.
Принцип действия цифровой вертушки заключается в следующем. Запишем сумму однозначых чисел A+B=[D;E] двумя цифрами десятков D и единиц Е. Все примеры с одинаковой величиной слагаемого +B назовём листом сложения.
Цифру единиц E примера сложения показываем стрелочкой от A к E. Эта стрелочка называется указателем единиц суммы.
Стрелочки на листе сложения образуют ломаные линии молний.
Правило единиц. Сложение A+B выполняется путём перехода по стрелочке-указателю, изображённой на листе сложения (+B), от цифры A к цифре E единиц суммы.
Пример 2+1. Потребуется лист сложения (+1). Установим фишку-метку на цифру 2 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке молнии, выходящей из точки 2. Конец указателя показывает сумму 3.
Пример 7+7. Берём лист сложения (+7). Установим фишку-метку на цифру 7 на T-матрице. Перемещаем фишку по стрелочке «шаг вверх» на 7-й молнии, выходящей из точки A=7. Конец указателя показывает цифру единиц E=4.
Применяем правило десятков. Если на указателе единиц суммы A->E есть инверсия, то есть, A>E, тогда цифра десятков суммы D=1[5].
Проведём следующий эксперимент с примерами умножения на 3 (третий лист умножения 3xB=[D;E]). Представим, что мы находимся в центре большой телефонной Т-матрицы. Покажем левой рукой направление из центра нв множитель B. Отставим в сторону правую руку, составив с левой рукой прямой угол. Тогда правая рука покажет цифру единиц E примера умножения 3xB[6]. Итак, правило единиц при умножении на 3 формулируется в два слова: «единицы справа» (от радиального луча множителя B).
Правило поворота лучей (чисел) на Т-матрице можно рассматривать как мнемоническое правило, удобное для запоминания всех примеров 3-го листа умножения. Если учитель попросит подсчитать 3x7, ученик вспомнит картинку Т-матрицы с нужными лучами и прочитает по ней цифры ответа, называя числа словами. Однако при геометрических вычислениях в уме слова не нужны, так как слова появляются в сознании вычислителя после картинки, где уже указаны цифры ответа. Одновременно с картинкой, возникающей в памяти человека, число результата уже получено и осознано.
Следует обратить внимание на то, что элементы изображения в наглядной арифметике стандартизованы, они могут рассматриваться как язык визуальных образов, последовательность которых (соответствующая алгоритму) эквивалентна проведению расчётов. Возникающие в памяти картинки могут быть динамическими, как в кино, или же статическими, если на одной геометрической схеме показаны и исходные данные, и числа результата. Одношаговые алгоритмы предпочтительнее многошаговых.
Чтобы вспомнить нужную картинку для получения цифр ответа элементарного примера, требуется интервал времени 0,1-0,3 секунды. Заметим, что при решении элементарных примеров геометрическим способом нет никакого увеличения нагрузки на психику. По факту, геометрический счёт у тренированного вычислителя автоматически является скоростным счётом.
Компьютер «на пальцах».
Указание радиальных лучей при умножении на 3 можно выполнить ладонью правой руки. Отставим в сторону большой палец правой руки, плотно сжав остальные пальцы. Положим правую ладонь на центр Т-матрицы, направив большой палец на множитель B. Тогда остальные пальцы правой руки покажут цифру единиц E произведения 3xB=[D;E]). Итак, умножение на 3 реализуется на телефонной матрице правилом правой руки". Например, 3x2=6[7].
Аналогично: правило единиц умножения на 7 — это правило левой руки[8].
Правило единиц умножения на 9 — это шпагат из пальцев[9].
Другие геометрические правила единиц умножения можно показать на схемах, на которых имеются радиальные лучи Т-матрицы[10]. При этом умножение чётных чисел выполняется на чётном кресте цифр Т-матрицы[11]. Удачным тренажёром являются механические учебные пособия — цифровые вертушки, использующие цифровую телефонную матрицу[12].
Чтобы показать величину десятков произведения AxB, можно воспользоваться ступенчатыми моделями листов умножения, вид и особенности которых мы запоминаем так же, как рельеф местности. Высота руки над основанием (полом) показывает величину десятков. Если цифра D превосходит 5, то основание пола будет соответствовать D=5, а верхний уровень руки — 9[13].
Феноменальные счётчики
Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.
До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте[14]. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений, включая, например, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова[14].
Среди известных российских «супер счётчиков»:
- Арон Чиквашвили — «чудо-счётчик»[15][16][17][18]
- Арраго[14]
- Давид Гольдштейн[14]
- Игорь Шелушков[15]
- Горный (Яшков) Юрий Гаврилович[19]
- А. В. Некрасов — «человек-компьютер»[20][21][22][23][24]
- Владимир Кутюков — «человек-календарь»[25][26][27][28][29][30]
Среди зарубежных:
- Борислав Гаджански[15]
- Вильям Клайн[15]
- Жак Иноди[15]
- Луи Флери[15]
- Мадемуазель Осака[15]
- Морис Дагбер[15]
- Томас Фуллер[15]
- Урания Диамонди[15]
- Шакунтала Деви[15]
- Юсниер Виера — кубино-американский математик, феноменальный счётчик, мировой рекордсмен в области устного календарного исчисления[31][32].
Хотя некоторые специалисты уверяли, что дело во врождённых способностях[33], другие аргументированно доказывали обратное: «дело не только и не столько в каких-то исключительных, „феноменальных“ способностях, а в знании некоторых математических законов, позволяющих быстро производить вычисления» и охотно раскрывали эти законы[14].
Соревнования по устному счёту
В настоящее время в прибалтийских странах, Словении и Украине проводятся соревнования по устному счёту среди школьников под названием Пранглимине (эст. Pranglimine). Начиная с 2004 года проводятся международные соревнования среди школьников и взрослых. В 2016 году соревнования прошли в Мурска-Собота (Словения)[34][35].
Начиная с 2004 года, один раз в два года проводится Мировой чемпионат по вычислениям в уме[36]. Соревнования проводятся по решению таких задач, как сложение десяти 10-значных чисел (по правилам 2016 года даётся 7 минут на это задание), умножение двух 8-значных чисел за 10 минут, расчёт дня недели по григорианскому календарю по заданной дате с 1600 по 2100 годы (1 минута), корень квадратный из 6-значного числа за 10 минут (результат должен быть представлен с точностью до 8 знаков после запятой). Также определяется победитель в категории «Лучший универсальный счётчик» по итогам решения шести неизвестных «задач с сюрпризом». К заявке на участие прикладываются результаты в интеллектуальных видах спорта и результат в программах Memoriad (с сайта memoriad.com[37]), подтверждённые кем-то (например, учителем математики). Ограничения по возрасту нет, не делается также различий между полами. Участник начинает выполнение каждого задания с команды «Нейроны готовсь, пошли» (Neurons: On the ready, go). Чемпионат в 2018 году прошёл 28—30 сентября 2018 года в Научном центре Phæno в Вольфсбурге, Германия по таким правилам[38].
Memoriad[37] (MEntal math + meMORy + olimpIAD) — международная олимпиада по устному счёту, запоминанию и скорочтению, проводится раз в 4 года (совпадает по годам с летними Олимпийскими играми). Среди заданий по устному счёту: умножение 5-, 8- и 20-значных чисел, деление 10-значных чисел на 5-значные, извлечение квадратного корня из 6-, 8- и 10-значного числа, сложение 250 двухзначных чисел с показом каждого числа 0,6 секунды. Среди других заданий: запоминание бинарных чисел, десятичных чисел за определённое время (от 1 минуты до 1 часа).
Метод Трахтенберга
Среди практикующихся в устном счёте пользуется популярностью книга «Системы быстрого счёта» цюрихского профессора математики Якова Трахтенберга[39]. История её создания необычна[15]. В 1941 году немцы бросили будущего автора в концлагерь. Чтобы сохранить ясность ума и выжить в этих условиях, учёный стал разрабатывать систему ускоренного счёта. За четыре года ему удалось создать стройную систему для взрослых и детей, которую впоследствии он изложил в книге. После войны учёный создал и возглавил Цюрихский математический институт[15].
Устный счёт в искусстве
В России хорошо известна картина русского художника Николая Богданова-Бельского «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского», написанная в 1895 году. Приведённая на доске задача, над которой размышляют ученики, требует достаточно высоких навыков устного счёта и смекалки. Вот её условие:
[math]\displaystyle{ \frac{10^2 + 11^2 +12^2 + 13^2 + 14^2}{365} }[/math]
Феномен быстрого счёта больного аутизмом раскрывается в фильме «Человек дождя» Барри Левинсона и в фильме «Пи» Даррена Аронофски.
Некоторые приёмы устного счёта
Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34×9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30×9=270, 4×9=36, 270+36=306)[40].
Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19×9. В этом случае умножение 147×8 выполняется в уме так: 147×8=140×8+7×8= 1120 + 56= 1176[40]. Однако, не зная таблицу умножения до 19×9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147×8=(150−3)×8=150×8−3×8=1200−24=1176, причём 150×8=(150×2)×4=300×4=1200.
Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225×6=225×2×3=450×3=1350[40]. Также, проще может оказаться 225×6=(200+25)×6=200×6+25×6=1200+150=1350.
Несколько способов устного счёта:
- Умножение на 10. Приписать справа нуль: 48×10 = 480.
- Умножение на 9. Для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и от получаемого числа отнять множимое, например 45×9=450−45=405.
- Умножать на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2.
- Умножение на 11 двузначного числа [N; A]. Раздвинуть цифры N и A, вписать посередине сумму (N+A).
например, 43×11 = [4; (4+3); 3] = [4; 7; 3] = 473.
- При умножении на 1,5 умножаемое нужно разделить пополам и прибавить к умножаемому, например 48×1,5= 48/2+48=72. Можно применить при умножении на 15 48×1,5×10 = 720.
- Возведение числа вида [N;5] (оканчивающееся пятёркой) в квадрат производится по схеме: умножаем N на N+1, записываем в сотни, и приписываем 25 справа. Формула: [N; 5] × [N; 5] = [ (N×(N+1)) ; 2; 5 ].
Доказательство:[math]\displaystyle{ (10 \cdot N+5) \cdot (10 \cdot N+5) = 10^2 \cdot N^2 +2 \cdot 5 \cdot 10 \cdot N + 5^2 = 100 \cdot N^2 + 100\cdot N + 25 = 100 \cdot N (N+1)+25 }[/math]
Например, 65² = 6×7 и приписываем справа 25, получим 4225 или 95² = 9025 (сотни 9×10 и приписать 25 справа).
- Числа, близкие к удобным для умножения числам. можно возводить в квадрат с помощью формулы [math]\displaystyle{ A^2 = (A + d)(A - d) + d^2 }[/math] (например, 42² = (42 + 2)(42 − 2) + 2² = 44 × 40 + 4 = 1760 + 4 = 1764). Так же можно перемножать числа, находящиеся на одинаковом небольшом расстоянии от удобных, например: 23 × 17 = (20 + 3)(20 − 3) = 20² − 3² = 400 − 9 = 391.[41]
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Г. В. Дюдяева, Н. В. Долбилова О воздействии системы устных упражнений на успеваемость младших школьников по математике // Учитель — ученик: проблемы, поиски, находки: Сборник научных трудов. Выпуск 8
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Кузаев, Марат. Есть ли детям польза от ментальной арифметики : [арх. 24.07.2018] // ТАСС. — 2018. — 23 июля. — Дата обращения: 06.06.2021.
- ↑ Патент РФ № 2406160, 2009 г. Творогов В. Б. Цифровые вертушки для сложения, вычитания, умножения и целочисленного деления, использующие телефонную Т-матрицу
- ↑ Конструкция из Т-матрицы и молнии. . Дата обращения: 29 октября 2013. Архивировано 1 ноября 2013 года.
- ↑ А. В. Творогов Цифровые вертушки в игровом методе обучения сложению. . Дата обращения: 30 октября 2013. Архивировано 30 октября 2013 года.
- ↑ Иллюстрация способа умножения на 3. . Дата обращения: 31 октября 2013. Архивировано 2 ноября 2013 года.
- ↑ Иллюстрация умножения на 3. . Дата обращения: 29 октября 2013. Архивировано 1 ноября 2013 года.
- ↑ Иллюстрация умножения на 7. . Дата обращения: 29 октября 2013. Архивировано 1 ноября 2013 года.
- ↑ Иллюстрация умножения на 9. . Дата обращения: 29 октября 2013. Архивировано 1 ноября 2013 года.
- ↑ Правила единиц для таблицы умножения на телефонной матрице. . Дата обращения: 30 октября 2013. Архивировано 30 октября 2013 года.
- ↑ Иллюстрация правила единиц для умножения. . Дата обращения: 29 октября 2013. Архивировано 1 ноября 2013 года.
- ↑ А. В. Творогов Цифровые вертушки как инструмент умножения. . Дата обращения: 30 октября 2013. Архивировано 30 октября 2013 года.
- ↑ А. В. Творогов «Компьютер на пальцах» в игровом методе изучения таблицы умножения. . Дата обращения: 30 октября 2013. Архивировано 30 октября 2013 года.
- ↑ 14,0 14,1 14,2 14,3 14,4 Гениальность или метод? Архивная копия от 27 февраля 2011 на Wayback Machine // А. Леонович, Наука и жизнь, N4 1979 г.
- ↑ 15,00 15,01 15,02 15,03 15,04 15,05 15,06 15,07 15,08 15,09 15,10 15,11 15,12 Чудо-счётчики. Архивная копия от 27 февраля 2021 на Wayback Machine // Виктор Пекелис, Техника — молодёжи, N7 1974 г.
- ↑ Чудо-счётчик // Диво-90. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 1991. — С. 54. — 207 с. — 100 000 экз.
- ↑ Чудо-счётчик // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 1993. — С. 29. — 191 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-87012-008-X..
- ↑ Чудо-счётчик // Книга рекордов "Левша". — Москва: Издательский дом "Вся Россия", 2004. — С. 123. — 336 с. — 4000 экз.
- ↑ Официальный сайт Ю. Горного . Дата обращения: 20 сентября 2010. Архивировано 5 января 2010 года.
- ↑ Человек-компьютер // Диво-90. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 1991. — С. 54. — 207 с. — 100 000 экз.
- ↑ Человек-компьютер // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 1993. — С. 29. — 191 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-87012-008-X..
- ↑ Человек-компьютер // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 1998. — С. 30. — 224 с. — 15 000 экз. — ISBN 5-87012-014-4..
- ↑ Человек-компьютер // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 2001. — С. 29. — 287 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-87012-017-9..
- ↑ Человек-компьютер // Книга рекордов "Левша". — Москва: Издательский дом "Вся Россия", 2004. — С. 123. — 336 с. — 4000 экз.
- ↑ Человек-календарь // Диво 93. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 1993. — С. 29. — 191 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-87012-008-X..
- ↑ Человек-календарь // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 1998. — С. 30—31. — 224 с. — 15 000 экз. — ISBN 5-87012-014-4..
- ↑ Календарь в голове // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 2001. — С. 29—30. — 287 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-87012-017-9..
- ↑ Календарь в голове // Диво. Чудеса. Рекорды. Достижения. — Москва: "Диво", 2005. — С. 28—29. — 208 с. — ISBN 5-87012-023-3..
- ↑ Человек-календарь // Книга рекордов "Левша". — Москва: Издательский дом "Вся Россия", 2004. — С. 123. — 336 с. — 4000 экз.
- ↑ Удивительные люди. 4 Сезон. 8 выпуск. Владимир Кутюков. Человек-календарь на YouTube
- ↑ Young cuban fourth in mental calculus olympiad. Архивная копия от 11 марта 2012 на Wayback Machine (англ.)
- ↑ Cuban prodigy up for another Guinness Record. Архивная копия от 11 марта 2012 на Wayback Machine (англ.)
- ↑ «Считаю, что тов. Гольдштейн Д. Н. — калькулятор высшей марки… Его работа основана исключительно на памяти и врождённых способностях. Очень доволен, что моё дело нашло в нём достаточно заслуженного наследника». Р. С. Арраго, Москва, 5. 11. 1929 г.
- ↑ PRANGLIMINE. Архивная копия от 5 марта 2010 на Wayback Machine (эст.)
- ↑ Пранглимине экспресс-счёт. . Дата обращения: 12 сентября 2010. Архивировано 30 января 2009 года.
- ↑ Александр Хавронин. Пожиратель цифр. Роберт Фонтэйн досчитался до чемпионства, Радио Свобода (8 декабря 2006). Дата обращения 29 сентября 2012.
- ↑ 37,0 37,1 Memoriad.com . Дата обращения: 23 января 2022. Архивировано 5 мая 2015 года.
- ↑ Правила . Дата обращения: 19 сентября 2018. Архивировано 19 сентября 2018 года.
- ↑ Я. Трахтенберг «Системы быстрого счёта»
- ↑ 40,0 40,1 40,2 Перельман Я. И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета.
- ↑ Arthur Benjamin - Secrets of Mental Math (англ.). Дата обращения: 19 февраля 2016. Архивировано 5 августа 2017 года.
Литература
- Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков. //Нач. шк — 1993.-№ 11. — с. 38—43.
- Белошистая А. В. Приём формирования устных вычислительных умений в пределах 100 // Начальная школа. — 2001.- № 7
- Берман Г. Н. Приёмы счёта, изд. 6-е, М.: Физматгиз, 1959.
- Боротьбенко Е И. Контроль навыков устных вычислений. //Нач. шк. — 1972. — № 7.- с. 32-34.
- Воздвиженский А. Умственные вычисления. Правила и упрощённые примеры действий с числами. — 1908.
- Волкова СИ., Моро М. И. Сложение и вычитание многозначных чисел. //Нач. шк.- 1998.-№ 8.-с.46-50
- Воскресенский М. П. Приёмы сокращённых вычислений : Целые числа. — М.: типо-лит. В. Рихтер, 1905.- 39 с.
- Вроблевский. Как научиться легко и быстро считать. — М.-1932. — 132 с.
- Гольдштейн Д. Н. Курс упрощённых вычислений. М.: Гос. учебно-пед. изд., 1931.
- Гольдштейн Д. Н. Техника быстрых вычислений. М.: Учпедгиз, 1948.
- Гончар Д. Р. Устный счёт и память: загадки, приёмы развития, игры // В сб. Устный счёт и память. Донецк: Сталкер, 1997 г. ISBN 966-596-057-7.
- Демидова Т. Е., Тонких А. П. Приёмы рациональных вычислений в начальном курсе математики // Начальная школа. — 2002. — № 2. — С. 94—103.
- Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Учпедгиз.- 1967. − 150 с.
- Липатникова И. Г. Роль устных упражнений на уроках математики //Начальная школа. — 1998. — № 2.
- Мартель Ф. Приёмы быстрого счёта. — Пб. −1913. − 34 с.
- Мартынов И. И. Устный счёт для школьника, что гаммы для музыканта. // Начальная школа. — 2003. — № 10. — С. 59—61.
- Мелентьев П. В. «Быстрые и устные вычисления.» М.: «Гостехиздат», 1930.
- Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л.: Союзпечать, 1945.
- Пекелис В. Д. Твои возможности, человек!. — 4-е, перераб. и доп. — Москва: Знание, 1984. — 272 с. — 200 000 экз.
- Робер Токэ «2 + 2 = 4» (1957) (англоязычное издание: «Магия чисел» (1960)).
- Сорокин А. С. Техника счёта. М.: «Знание», 1976.
- Сухорукова А. Ф. Больше внимания устным вычислениям. //Нач. шк. — 1975.- № 10. — с. 59—62.
- Творогов В. Б. Наглядная арифметика и технология быстрого счёта. М.: Кн.1: Основы. «Либроком», 2011. — 208 с. ISBN 978-5-397-01928-6.
- Фаддейчева Т. И. Обучение устным вычислениям // Начальная школа. — 2003. — № 10.
- Фаермарк Д. С. «Задача пришла с картины.» М.: «Наука».
Ссылки
- В. Пекелис. Чудо-счётчики // Техника — молодёжи, № 7, 1974 г.
- С. Транковский. Устный счёт // Наука и жизнь, № 7, 2006 год.
- 1001 задача для умственного счёта С. А. Рачинского.
- Перельман Я. И. Быстрый счёт. Л., 1941 г., 12 с. (в библиотеке Math.Ru)
- Тренажёр устного счёта.
- Решения задачи Рачинского с картины «Устный счёт. В народной школе С. А. Рачинского».
- Наглядная арифметика
- Мобильное приложение — тренажёр для устного счёта