Уравнение Эйлера — Лагранжа

Уравне́ния Э́йлера — Лагра́нжа (в физике также уравнения Лагранжа — Эйлера, или уравнения Лагранжа) являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации и совместно с принципом стационарности действия используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в ноль, гладкая функция может иметь экстремум (в случае векторного аргумента приравнивается нулю градиент функции, то есть производная по векторному аргументу). Точнее говоря, это прямое обобщение соответствующей формулы на случай функционалов — функций бесконечномерного аргумента.

Уравнения были получены Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем в 1750-х годах.

Формулировка

Пусть задан функционал

[math]\displaystyle{ J(f) = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x))\, dx }[/math]

на пространстве гладких функций [math]\displaystyle{ f\colon[a,b]\to \R }[/math], где через [math]\displaystyle{ f' }[/math] обозначена первая производная [math]\displaystyle{ f }[/math] по [math]\displaystyle{ x }[/math].

Предположим, что подынтегральная функция [math]\displaystyle{ F (x, f (x), f' (x)) }[/math], обладает непрерывными первыми частными производными. Функция [math]\displaystyle{ F }[/math] называется функцией Лагранжа, или лагранжианом.

Если функционал [math]\displaystyle{ J }[/math] достигает экстремума на некоторой функции [math]\displaystyle{ f }[/math], то для неё должно выполняться обыкновенное дифференциальное уравнение

[math]\displaystyle{ \frac {\partial F} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial F} {\partial f'} = 0, }[/math]

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Примеры

Рассмотрим стандартный пример: найти кратчайший путь между двумя точками плоскости. Ответом, очевидно, является отрезок, соединяющий эти точки. Попробуем получить его с помощью уравнения Эйлера — Лагранжа в предположении, что кратчайший путь существует и является гладкой кривой.

Пусть точки, которые надо соединить, имеют координаты [math]\displaystyle{ (a, c) }[/math] и [math]\displaystyle{ (b, d) }[/math]. Тогда длина пути [math]\displaystyle{ y(x) }[/math], соединяющего эти точки, может быть записана следующим образом:

[math]\displaystyle{ L = \int\limits_a^b \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} dx. }[/math]

Уравнение Эйлера — Лагранжа для этого функционала принимает вид:

[math]\displaystyle{ \frac d {dx} \frac {\partial} {\partial y'} \sqrt {1 + \left(\frac {dy} {dx}\right)^2} = 0, }[/math]

откуда получаем, что

[math]\displaystyle{ \frac {dy} {dx} = C \Rightarrow y = Cx + D. }[/math]

Таким образом, получаем прямую линию. Учитывая, что [math]\displaystyle{ y(a) = c }[/math], [math]\displaystyle{ y(b) = d }[/math], т. е. что она проходит через исходные точки, получаем верный ответ: отрезок прямой, соединяющий точки.

Многомерные вариации

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

• Если [math]\displaystyle{ q(t) }[/math] — путь в [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

[math]\displaystyle{ J = \int\limits_{t1}^{t2} L(t, q(t), q'(t))\, dt }[/math]

только если удовлетворяет условию

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial q'_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 }[/math] [math]\displaystyle{ \forall k = 1, 2, \dots n }[/math]

В физических приложениях, когда [math]\displaystyle{ L }[/math] является лагранжианом (имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть если J — действие для этой системы), эти уравнения — (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечномерного q.

• Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции [math]\displaystyle{ n }[/math] переменных. Если [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — какая-либо (в данном случае n-мерная) поверхность, то

[math]\displaystyle{ J = \int\limits_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, d\Omega , }[/math]

где [math]\displaystyle{ x_i = x_1, x_2, x_3,\dots, x_n }[/math] — независимые координаты, [math]\displaystyle{ f = f(x_1, x_2, x_3,\dots, x_n) }[/math], [math]\displaystyle{ f_{x_i} \equiv \frac{\partial f}{\partial x_i} }[/math],

доставляет экстремум, если только [math]\displaystyle{ f }[/math] удовлетворяет уравнению в частных производных

[math]\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ n = 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ L }[/math] — функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

• Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

В частности, вместо статического уравнения равновесия мыльной плёнки, приведённого в качестве примера в предыдущем пункте, имеем в этом случае динамическое уравнение движения такой плёнки (если, конечно, нам удалось изначально записать для неё действие, то есть кинетическую и потенциальную энергию).

История

Уравнение Эйлера — Лагранжа было получено в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем при решении задачи об изохроне. Это проблема определения кривой, по которой тяжёлая частица попадает в фиксированную точку за фиксированное время, независимо от начальной точки.

Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отослал решение Эйлеру. Развитый впоследствии метод Лагранжа и применение его в механике привело к формулировке лагранжевой механики. Переписка учёных привела к созданию вариационного исчисления (термин предложил Эйлер в 1766 году).

Доказательство

Вывод одномерного уравнения Эйлера — Лагранжа является одним из классических доказательств в математике. Оно основывается на основной лемме вариационного исчисления.

Мы хотим найти такую функцию [math]\displaystyle{ f }[/math], которая удовлетворяет граничным условиям [math]\displaystyle{ f(a)=c }[/math], [math]\displaystyle{ f(b)=d }[/math] и доставляет экстремум функционалу

[math]\displaystyle{ J = \int\limits_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. }[/math]

Предположим, что [math]\displaystyle{ F }[/math] имеет непрерывные первые производные. Достаточно и более слабых условий, но доказательство для общего случая более сложно.

Если [math]\displaystyle{ f }[/math] даёт экстремум функционалу и удовлетворяет граничным условиям, то любое слабое возмущение [math]\displaystyle{ f }[/math], которое сохраняет граничные условия, должно увеличивать значение [math]\displaystyle{ J }[/math] (если [math]\displaystyle{ f }[/math] минимизирует его) или уменьшать [math]\displaystyle{ J }[/math] (если [math]\displaystyle{ f }[/math] максимизирует).

Пусть [math]\displaystyle{ \eta(x) }[/math] — любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию [math]\displaystyle{ \eta(a)=\eta(b)=0 }[/math]. Определим

[math]\displaystyle{ J(\varepsilon) = \int\limits_a^b F(x,f(x) + \varepsilon \eta(x), f'(x) + \varepsilon \eta'(x))\, dx. }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — произвольный параметр.

Поскольку [math]\displaystyle{ f }[/math] даёт экстремум для [math]\displaystyle{ J(0) }[/math], то [math]\displaystyle{ J'(0)=0 }[/math], то есть

[math]\displaystyle{ J'(0) = \int\limits_a^b \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f} + \eta'(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]\,dx = 0. }[/math]

Интегрируя по частям второе слагаемое, находим, что

[math]\displaystyle{ 0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx + \left[ \eta(x) \frac{\partial F}{\partial f'} \right]_a^b. }[/math]

Используя граничные условия на [math]\displaystyle{ \eta }[/math], получим

[math]\displaystyle{ 0 = \int\limits_a^b \left[ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'} \right] \eta(x)\,dx. }[/math]

Отсюда, так как [math]\displaystyle{ \eta(x) }[/math] — любая, следует уравнение Эйлера — Лагранжа:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}=0. }[/math]

Если не вводить граничные условия на [math]\displaystyle{ f(x) }[/math], то также требуются условия трансверсальности:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial f'}(a,f(a),f'(a))=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial f'}(b,f(b),f'(b))=0 }[/math]

Обобщение на случай с высшими производными

Лагранжиан может также зависеть и от производных [math]\displaystyle{ f }[/math] порядка выше, чем первый.

Пусть функционал, экстремум которого нужно найти, задан в виде:

[math]\displaystyle{ J = \int\limits_a^b F(x, f(x), f'(x), f''(x),...,f^{(n)}(x))\, dx. }[/math]

Если наложить граничные условия на [math]\displaystyle{ f }[/math] и на её производные до порядка [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] включительно, а также предположить, что [math]\displaystyle{ F }[/math] имеет непрерывные частные производные порядка [math]\displaystyle{ 2n }[/math] , то можно, применяя интегрирование по частям несколько раз, вывести аналог уравнения Эйлера — Лагранжа и для этого случая:

[math]\displaystyle{ \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}+\frac{d^2}{dx^2} \frac{\partial F}{\partial f''}-\cdots+(-1)^n \frac{d^n}{dx^n} \frac{\partial F}{\partial f^{(n)}} = 0 . }[/math]

Это уравнение часто называют уравнением Эйлера — Пуассона.

Два лагранжиана, отличающеся на полную производную, дадут одни и те же дифференциальные уравнения, однако максимальный порядок производных в этих лагранжианах может быть различный. Например, [math]\displaystyle{ L_1=(f^\prime(x))^2~,~L_2=-f(x)f^{\prime\prime}(x)~,~L_1-L_2=\frac{d}{dx}(f(x)f^\prime(x)) }[/math]. Чтобы получить дифференциальное уравнение на экстремум, к [math]\displaystyle{ L_1 }[/math] достаточно применить «обычное» уравнение Эйлера — Лагранжа, а для [math]\displaystyle{ L_2 }[/math], поскольку он зависит от второй производной, нужно использовать уравнение Эйлера — Пуассона с соответствующим слагаемым:

[math]\displaystyle{ \frac {\partial L_1} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial L_1} {\partial f'} = -2 f^{\prime\prime}(x), }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac {\partial L_2} {\partial f} - \frac {d} {dx} \frac {\partial L_2} {\partial f'} + \frac {d^2} {dx^2} \frac {\partial L_2} {\partial f^{\prime\prime}}= -2 f^{\prime\prime}(x), }[/math]

и в обоих случаях получится одно и то же дифференциальное уравнение [math]\displaystyle{ -2 f^{\prime\prime}(x)=0 }[/math].

Литература

• Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1979
• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука, 1969.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
• Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, — УРСС, Москва, 2004.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Euler-Lagrange (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Calculus of Variations (англ.) на сайте PlanetMath.
• Summary with some historical information
• Examples — задачи из вариационного исчисления.