Уравнения Цёппритца

Уравнения Цёппритца — уравнения, определяющие изменение амплитуд сейсмических волн на границах слоёв с различными сейсмическими свойствами. Карл Бернхард Цёппритц (1881–1908) — немецкий геофизик, который сформулировал уравнения, названные в его часть. Работал в Гёттингенском университете ассистентом в исследовательской группе Эмиля Вихерта. Уравнения Цёппртитца связывают амплитуды Р– и S– волн на границе двух упругих сред с углом падения [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math] волны на границу.

Точная формулировка

Матрица

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} sin \alpha_{P1} & - cos \alpha_{S1}&sin \alpha_{P2}&cos \alpha_{S2} \\ cos \alpha_{P1} & sin \alpha_{S1}&- cos \alpha_{P2}& sin \alpha_{S2} \\ \gamma_{P1} \cdot cos 2\alpha_{S1} & \gamma_{S1} \cdot sin 2\alpha_{S1}&\gamma_{P2} \cdot cos 2 \alpha_{S2}& - \gamma_{S2} \cdot cos 2 \alpha_{S2} \\ \gamma_{P1} \cdot cos 2\alpha_{S1} & \gamma_{S1} \cdot sin 2\alpha_{S1}&\gamma_{P2} \cdot cos 2 \alpha_{S2}& - \gamma_{S2} \cdot cos 2 \alpha_{S2} \\ \end{pmatrix} }[/math]

Приближение

Уравнения Цёппритца сложны в использовании, и поэтому чаще используются приближения, такие как Бортфельда (1961 год) и Шуей (1985 год). Шуей в приближении:

[math]\displaystyle{ R(\theta) = R_0 + [A_0 R_0 + \frac{\triangle \sigma}{(1-\sigma)^2}]sin^2\theta+\frac{1}{2}\frac{\triangle V_p}{V_p}(tan^2\theta-sin^2\theta) }[/math]

где каждый элемент охватывает амплитуды отражения на больших углах. Первое слагаемое [math]\displaystyle{ R_0 }[/math] дает амплитуду при нормальном падении [math]\displaystyle{ (\theta = 0) }[/math], второе слагаемое характеризует [math]\displaystyle{ R(\theta) }[/math] на промежуточных углах, а третий член описывает подход к критическому углу. Здесь [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] это коэффициент Пуассона, [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — угол падения, и [math]\displaystyle{ A_0 }[/math] — медленно меняющаяся величина пропорциональная [math]\displaystyle{ \frac{1-2\theta}{1-\theta} }[/math]. Это приближение было сделано с точностью до 60 градусов от критического угла, и оно предполагает, что изменение плотности и скоростей через границы много меньше 1.

Ссылки

• https://web.archive.org/web/20110428170807/http://www.crewes.org/ResearchLinks/ExplorerPrograms/ZE/ZEcrewes.html