Уравнения Ефименко

Уравне́ния Ефиме́нко описывают поведение электрического и магнитного поля в терминах запаздывающих источников. Объединённые с уравнением непрерывности, уравнения Ефименко эквивалентны уравнениям Максвелла электромагнетизма. Названы в честь Олега Ефименко.

Объяснение

Электрическое поле [math]\displaystyle{ \mathbf{E} }[/math] и магнитное поле [math]\displaystyle{ \mathbf{B} }[/math] задаются в терминах плотности заряда [math]\displaystyle{ \rho }[/math] и плотности тока [math]\displaystyle{ \mathbf{J} }[/math] как

[math]\displaystyle{ \mathbf{E}(\mathbf{r},t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int{\left(\rho(\mathbf{r'},t_r)\frac{\mathbf{R}}{R^3}+\frac{\partial\rho(\mathbf{r'},t_r)}{\partial t}\frac{\mathbf{R}}{R^2c} - \frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)}{\partial t}\frac{1}{R\,c^2}\right)\operatorname{d}^3\mathbf{r'}}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int{\left(\mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)\times\frac{\mathbf{R}}{R^3}+\frac{\partial \mathbf{J}(\mathbf{r'},t_r)}{\partial t}\times\frac{\mathbf{R}}{R^2c}\right)\operatorname{d}^3\mathbf{r'}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{R} = \mathbf{r} - \mathbf{r'} }[/math], и [math]\displaystyle{ t_r = t - \frac{R}{c} }[/math] (запаздывающее время), [math]\displaystyle{ \epsilon_0 }[/math] — электрическая постоянная, [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] — магнитная постоянная.