Уравнение Чандрасекара

Численное решения уравнения Чандрасекара

Уравне́ние Чандрасека́ра в астрофизике — безразмерная форма уравнения Пуассона для распределения плотности сферически-симметричной изотермической газовой сферы под действием собственной силы гравитации, названная по имени американского астрофизика Субраманьяна Чандрасекара. Уравнение имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi}\left(\xi^2 \frac{d\psi}{d\xi}\right)= e^{-\psi}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \xi }[/math] является безразмерным радиусом, [math]\displaystyle{ \psi }[/math] связано с плотностью газовой сферы соотношением [math]\displaystyle{ \rho=\rho_c e^{-\psi} }[/math], где [math]\displaystyle{ \rho_c }[/math] представляет плотность газа в центре. Уравнение не имеет известного явного решения. Если вместо изотермического вещества взять политропное, записанное уравнение будет представлять собой уравнение Лейна — Эмдена. Обычно изотермическое приближение применяется при описании ядра звезды. В таком случае уравнение решают с начальными условиями

[math]\displaystyle{ \xi=0: \quad \psi =0, \quad \frac{d\psi}{d\xi} =0. }[/math]

Уравнение также возникает и в других областях физики, например, в разработанной Д. А. Франк-Каменецким теории теплового взрыва в замкнутой оболочке.

Вывод уравнения

Для изотермической газовой звезды давление [math]\displaystyle{ p }[/math] складывается из кинетического давления и давления излучения:

[math]\displaystyle{ p = \rho\frac{k_B}{W H} T + \frac{4\sigma}{3c} T^4 }[/math],

где

• [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — плотность,
• [math]\displaystyle{ k_B }[/math] — постоянная Больцмана,
• [math]\displaystyle{ W }[/math] — средний молекулярный вес,
• [math]\displaystyle{ H }[/math] — масса протона,
• [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура звезды,
• [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — постоянная Стефана — Больцмана,
• [math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света.

Уравнение для состояния равновесия звезды требует баланса между силой давления и силой гравитации:

[math]\displaystyle{ \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left(\frac{r^2}{\rho}\frac{dp}{dr}\right)= - 4\pi G \rho, }[/math]

где [math]\displaystyle{ r }[/math] равно радиусу, измеряемому от центра, [math]\displaystyle{ G }[/math] является гравитационной постоянной. Уравнение переписывается в виде

[math]\displaystyle{ \frac{k_B T}{WH}\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left(r^2\frac{d \ln \rho}{dr}\right)= - 4\pi G \rho. }[/math]

Точное и асимптотическое решения

Вводя преобразования

[math]\displaystyle{ \psi = \ln \frac{\rho_c}{\rho}, \quad \xi = r \left(\frac{4\pi G \rho_c W H}{k_B T}\right)^{1/2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \rho_c }[/math] — плотность звезды в центральной части, получаем выражение

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\xi^2} \frac{d}{d\xi}\left(\xi^2 \frac{d\psi}{d\xi}\right)= e^{-\psi}. }[/math]

Граничные условия таковы:

[math]\displaystyle{ \xi=0: \quad \psi =0, \quad \frac{d\psi}{d\xi} =0. }[/math]

При [math]\displaystyle{ \xi\ll 1 }[/math] решение близко к

[math]\displaystyle{ \psi = \frac{\xi^2}{6} - \frac{\xi^4}{120} + \frac{\xi^6}{1890} + \cdot\cdot\cdot }[/math]

Ограничения модели

Предположение об изотермичности сферы имеет некоторые недостатки. Хотя полученная при решении плотность изотермической газовой сферы уменьшается с удалением от центра, всё же уменьшение слишком медленное для того, чтобы получалась надёжно определяемая поверхность и масса сферы оказывалась конечной. Можно показать, что при [math]\displaystyle{ \xi \gg 1 }[/math],

[math]\displaystyle{ \frac{\rho}{\rho_c}=e^{-\psi}=\frac{2}{\xi^2} \left[1+\frac{A}{\xi^{1/2}}\cos\left(\frac{\sqrt 7}{2}\ln \xi + \delta\right) + O(\xi^{-1})\right] }[/math],

где [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ \delta }[/math] являются постоянными величинами, которые можно получить при численном решении. Такое поведение плотности приводит к увеличению массы при возрастании радиуса. Следовательно, модель обычно пригодна для описания ядер звёзд, где температура приблизительно постоянна.

Особое решение

Преобразование [math]\displaystyle{ x=1/\xi }[/math] приводит уравнение к виду

[math]\displaystyle{ x^4 \frac{d^2\psi}{dx^2} = e^{-\psi}. }[/math]

Уравнение имеет особое решение вида

[math]\displaystyle{ e^{-\psi_s} = 2x^2, \quad \text{or} \quad -\psi_s = 2 \ln x+ \ln 2. }[/math]

Следовательно, можно ввести новую переменную [math]\displaystyle{ -\psi = 2 \ln x + z, }[/math] при этом уравнение для [math]\displaystyle{ z }[/math] можно вывести:

[math]\displaystyle{ \frac{d^2z}{dt^2}-\frac{dz}{dt}+ e^z -2 =0, \quad \quad t=\ln x. }[/math]

Данное уравнение можно свести к уравнению первого порядка, вводя переменную

[math]\displaystyle{ y=\frac{dz}{dt} = \xi \frac{d\psi}{d\xi} - 2, }[/math]

тогда

[math]\displaystyle{ y\frac{dy}{dz} - y + e^z- 2 = 0. }[/math]

Другие варианты уравнения

Уравнение можно привести к другому виду. Пусть

[math]\displaystyle{ u = \frac{\xi e^{-\psi}}{d\psi/d\xi}, \quad v = \xi \frac{d\psi}{d\xi}, }[/math]

тогда

[math]\displaystyle{ \frac{u}{v}\frac{dv}{du} = \frac{u-1}{u+v-3}. }[/math]

Свойства

• Если [math]\displaystyle{ \psi(\xi) }[/math] является решением уравнения Чандрасекара, то [math]\displaystyle{ \psi(A\xi)-2\ln A }[/math] также является решением уравнения при произвольной константе [math]\displaystyle{ A }[/math].
• Решения уравнения Чандрасекара, являющиеся конечными в начале координат, удовлетворяют условию [math]\displaystyle{ d\psi/d\xi=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ \xi=0 }[/math].