Управляемость (теория управления)

Управляемость — одно из важнейших свойств системы управления и объекта управления (машины, живого организма, общества и т. п.), описывающее возможность перевести систему из одного состояния в другое. Исследование системы управления на управляемость является одним из важных шагов в синтезе управляющих контроллеров.

Определение

Состояние [math]\displaystyle{ x(t_1) }[/math] линейной системы управляемо, если существует такой вход [math]\displaystyle{ u(t) }[/math], который переводил бы начальное состояние [math]\displaystyle{ x_0(t_1) }[/math] в конечное состояние [math]\displaystyle{ x_k(t_2) }[/math] за конечный интервал времени [math]\displaystyle{ (t_2 - t_1) }[/math].

Система называется полностью управляемой, если все компоненты её вектора состояний управляемы.

Критерий управляемости (критерий Калмана)

Для линейных систем существует критерий управляемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] (с [math]\displaystyle{ n }[/math] компонентами вектора состояния), [math]\displaystyle{ p }[/math] входами и [math]\displaystyle{ q }[/math] выходами, записанная в виде:

[math]\displaystyle{ \dot{\mathbf{x}}(t) = A \mathbf{x}(t) + B \mathbf{u}(t) }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathbf{y}(t) = C \mathbf{x}(t) + D \mathbf{u}(t) }[/math]

где

[math]\displaystyle{ x(t) \in \mathbb{R}^n }[/math]; [math]\displaystyle{ y(t) \in \mathbb{R}^q }[/math]; [math]\displaystyle{ u(t) \in \mathbb{R}^p }[/math];

[math]\displaystyle{ \operatorname{dim}[A] = n \times n }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}[B] = n \times p }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}[C] = q \times n }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}[D] = q \times p }[/math], [math]\displaystyle{ \dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt} }[/math].

здесь [math]\displaystyle{ x(\cdot) }[/math] — «вектор состояния», [math]\displaystyle{ y(\cdot) }[/math] — «вектор выхода», [math]\displaystyle{ u(\cdot) }[/math] — «вектор входа», [math]\displaystyle{ A }[/math] — «матрица системы», [math]\displaystyle{ B }[/math] — «матрица управления», [math]\displaystyle{ C }[/math] — «матрица выхода», [math]\displaystyle{ D }[/math] — «сквозная матрица».

Для неё можно составить матрицу управляемости:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} B \ AB \ A^2B \ \dots \ A^{n-1}B \end{bmatrix} }[/math]

Согласно критерию управляемости если ранг матрицы управляемости равен [math]\displaystyle{ n }[/math], система является полностью управляемой.

Литература

• Brockett, R. W.. Finite dimensional linear systems (англ.). — John Wiley & Sons, 1970.

См. также

• Наблюдаемость (теория управления)