Угловое ускорение

Угловое ускорение
[math]\displaystyle{ \boldsymbol \varepsilon=\frac{\mathrm d\boldsymbol\omega}{\mathrm dt} = \boldsymbol \dot \omega }[/math]
Единицы измерения
СИ	рад/с2
СГС	рад/с2
Примечания
псевдовектор

Угловое ускорение — псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

[math]\displaystyle{ \vec\varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt}. }[/math]

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твёрдого тела.

Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твёрдого тела при свободном движении

К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твёрдого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела [math]\displaystyle{ B }[/math] при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна

[math]\displaystyle{ \vec v_B = \vec v_A + \vec\omega \times \vec{AB}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec v_A }[/math] — скорость точки тела [math]\displaystyle{ A }[/math], принятой в качестве полюса; [math]\displaystyle{ \vec\omega }[/math] — псевдовектор угловой скорости тела; [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math] — вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение и используя формулу Ривальса, имеем

[math]\displaystyle{ \vec{a_B}=\vec{a_A}+\vec{\varepsilon}\times\vec{AB}+\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{AB}) }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec{a_B} = \vec{a_A}+\vec{a^{rot}_{BA}}+\vec{a^{axis}_{BA}}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec a_A }[/math] — ускорение полюса [math]\displaystyle{ A }[/math]; [math]\displaystyle{ \vec\varepsilon = \frac{d\vec\omega}{dt} }[/math] — псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки [math]\displaystyle{ B }[/math], вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки [math]\displaystyle{ B }[/math] вокруг полюса [math]\displaystyle{ A }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec a_{BA}^{\,rot} = \vec\varepsilon \times \vec{AB}. }[/math]

Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки [math]\displaystyle{ B }[/math] вокруг полюса [math]\displaystyle{ A }[/math]

[math]\displaystyle{ \vec a_{BA}^{\,axis} = \vec\omega \times \left(\vec\omega \times \vec{AB} \right). }[/math]

Геометрический смысл псевдовектора углового ускорения

Псевдовектор [math]\displaystyle{ \vec\varepsilon }[/math] направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math] и в момент времени [math]\displaystyle{ t + \Delta t }[/math]. Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math]

[math]\displaystyle{ \Delta \vec\omega = \vec\omega(t + \Delta t) - \vec\omega(t). }[/math]

Отнесём это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло

[math]\displaystyle{ \frac{\Delta \vec\omega}{\Delta t} = \vec\varepsilon^{\,\,'}. }[/math]

Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ M_1 }[/math]. Перейдём к пределу при [math]\displaystyle{ \Delta t \to 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec\omega}{\Delta t} = \frac{d\vec\omega}{dt} = \vec\varepsilon. }[/math]

Вектор среднего углового ускорения перейдёт в вектор мгновенного углового ускорения и займёт положение касательной в точке [math]\displaystyle{ M_0 }[/math] к годографу угловой скорости.

Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворота

При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой

[math]\displaystyle{ \vec\varepsilon = \left(1 - \cos\varphi \right)\left(\vec u \times \frac{d^2 \vec u}{dt^2} \right) + \dot\varphi\left(1 + \cos\varphi \right) \frac{d\vec u}{dt} + \dot\varphi \sin\varphi \left(\vec u \times \frac{d\vec u}{dt}\right) + \sin\varphi \, \frac{d^2 \vec u}{dt^2} + \ddot\varphi \, \vec u, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \vec u }[/math] — орт, задающий направление оси поворота; [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — угол, на который совершается поворот вокруг оси [math]\displaystyle{ \vec u }[/math].

Угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной оси

При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела [math]\displaystyle{ O_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ O_2 }[/math], производные орта оси вращения равны нулю

[math]\displaystyle{ \frac{d\vec u}{dt} = \frac{d^2\vec u}{dt^2} = 0. }[/math]

В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота

[math]\displaystyle{ \vec\varepsilon = \ddot\varphi \, \vec u }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \vec\varepsilon = \varepsilon \, \vec u, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varepsilon = \ddot\varphi }[/math] — алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак

([math]\displaystyle{ \dot\varphi \, \ddot\varphi \gt 0 }[/math]),

то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при [math]\displaystyle{ \dot\varphi \, \ddot\varphi \lt 0 }[/math], векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).

В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела

[math]\displaystyle{ \varphi = \varphi(t). }[/math]

В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения [math]\displaystyle{ \varphi_0 = \varphi(t_0). }[/math]

[math]\displaystyle{ s(t) = R \, \left(\varphi(t) - \varphi_0 \right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ R }[/math] — расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки

[math]\displaystyle{ \frac{d s}{dt} = v_\tau = R \, \frac{d\varphi}{dt} = \omega \, R, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \omega = \frac{d\varphi}{dt} }[/math] — алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения

[math]\displaystyle{ \vec a_M = \vec a_M^{\,\tau} + \vec a_M^{\,n}, }[/math]

причём тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки

[math]\displaystyle{ a_M^{\,\tau} = \frac{d v_\tau}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \omega \, R \right) = R \, \frac{d\omega}{dt} = \varepsilon \, R, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \varepsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2 \varphi}{dt^2} }[/math] — алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам

[math]\displaystyle{ a_M^{\,n} = \frac{v_\tau^2}{R} = \omega^2 \, R. }[/math]

Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота тела

Если поворот твёрдого тела задан тензором ранга [math]\displaystyle{ \left(1, \, 1 \right) }[/math] (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота

[math]\displaystyle{ B_{\,m}^{\,p} = \left(1 - \cos\varphi \right) \, u^{\,p} \, u_{\,m} + \cos\varphi \, \delta_{\,m}^{\,p} + \sin\varphi \, g^{\,pl} \, \epsilon_{\,lkm} \, u^{\,k}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \delta_{\,m}^{\,p} }[/math] — символ Кронекера; [math]\displaystyle{ \epsilon_{\,lkj} }[/math] — тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле

[math]\displaystyle{ \varepsilon^{\,i} = \frac{1}{2} \, \epsilon^{ikl} \, g_{\,lp} \, \left( B_{\,m}^{'\,p} \, \ddot B_{\,k}^{\,m} + \dot B_{\,m}^{'\,p} \, \dot B_{\,k}^{\,m} \right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ B_{\,m}^{'\,p} }[/math] — тензор обратного преобразования, равный

[math]\displaystyle{ B_{\,m}^{'\,p} = \left(1 - \cos\varphi \right) \, u^{\,p} \, u_{\,m} + \cos\varphi \, \delta_{\,m}^{\,p} - \sin\varphi \, g^{\,pl} \, \epsilon_{\,lkm} \, u^{\,k}. }[/math]

Литература

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики — 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986 — 416 С.
2. Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. — Брянск: БГТУ, 1997. — 197 С.