Топологическое кольцо
(перенаправлено с «Топологическое поле»)
Топологическое кольцо — кольцо, снабжённое естественной топологией.
Определения
Топологическое кольцо — кольцо с топологией, относительно которой сложение и умножение непрерывны.
В определении топологического поля дополнительно требуется, что взятие обратного [math]\displaystyle{ x\mapsto x^{-1} }[/math] непрерывно во всех элементах кроме 0.
Примеры
Топологические кольца
- Кольцо непрерывных вещественно-значных функций на топологическом пространстве с топологией поточечной сходимости.
- Кольцо непрерывных линейных операторов на нормированном пространстве;
- Банахова алгебра.
- Двойные, дуальные и другие гиперкомплексные числа.
Топологические поля
- рациональные, вещественные, комплексные и р-адические числа.
- Локальное поле
Свойства
- Пополнение топологического кольца даёт полное топологическое кольцо.
- Группа единиц [math]\displaystyle{ K^\times }[/math] топологического кольца [math]\displaystyle{ K }[/math] образуют топологическую группу, с топологией индуцированной вложением в [math]\displaystyle{ u\mapsto (u,u^{-1}) }[/math].
- Однако если группа [math]\displaystyle{ K^\times }[/math] снабжена топологией как подпространство в [math]\displaystyle{ K }[/math], то она может не быть топологической группой, поскольку в этой топологии отображение [math]\displaystyle{ u\mapsto u^{-1} }[/math] не обязано быть непрерывным. Это происходит например в кольцах аделей.
Ссылки
- Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973. — 519 с.