Тождество Вальда

Тождество Вальда определяет формулу для вычисления математического ожидания для случайных сумм.

Названо в честь венгерского математика Абрахама Вальда.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ X_1,...,X_N }[/math] — независимые одинаково распределенные случайные величины. [math]\displaystyle{ N }[/math] — также является случайной величиной имеющей дискретное распределение и принимающая положительные целые значения. Далее [math]\displaystyle{ X_i }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] должны иметь конечное математическое ожидание и [math]\displaystyle{ N }[/math] должно быть независимым от [math]\displaystyle{ X_i }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right)=\operatorname{E}(N)\operatorname{E}(X) }[/math].