Тест Шура

В функциональном анализе тест Шура (названный в честь математика Исая Шура) применяется для интегральных операторов с ядром, действующим [math]\displaystyle{ L^2\to L^2 }[/math].

Такой тест позволяет дать оценку норме интегрального оператора, что позволяет делать вывод о его непрерывности.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ S,\,T }[/math] это два измеримых множества (например [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]), пусть [math]\displaystyle{ U }[/math] это интегральный оператор:

[math]\displaystyle{ (U f)(s)=\int_T K(s,t)f(t)\,dt }[/math] с ядром [math]\displaystyle{ K(s,t):S\times T\to\mathbb{R}(\mathbb{C}) }[/math].

Если найдутся функции [math]\displaystyle{ \phi :S\to\mathbb{R}\gt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \psi :T\to\mathbb{R}\gt 0 }[/math] и числа [math]\displaystyle{ A,B\gt 0 }[/math] такие что:

[math]\displaystyle{ (1)\qquad \int_S |K(s,t)|\phi(s)\,ds\le A\psi(t) }[/math]

для почти всех [math]\displaystyle{ t \in T }[/math] и

[math]\displaystyle{ (2)\qquad \int_T |K(s,t)|\psi(t)\,dt\le B\phi(s) }[/math]

для почти всех [math]\displaystyle{ s \in S }[/math],

Тогда [math]\displaystyle{ U }[/math] непрерывный оператор действующий [math]\displaystyle{ U:L^2\to L^2 }[/math] с нормой: [math]\displaystyle{ \Vert U\Vert_{L^2\to L^2} \le\sqrt{AB}. }[/math]

(Функции [math]\displaystyle{ \phi }[/math], [math]\displaystyle{ \psi }[/math] называют функциями теста Шура)

Доказательство

[math]\displaystyle{ |(Uf)(s)|=\biggl|\int_T |K(s,t)|\cdot f(t)dt\biggr| \le \int_T \sqrt{|K(s,t)|\cdot \psi(t)}\cdot \sqrt{|K(s,t)|\cdot f^2(t)\frac{1}{\psi(t)}}\cdot dt\le }[/math]
по неравенству Шварца:
[math]\displaystyle{ \le \sqrt{\int_T |K(s,t)|\cdot \psi(t)\cdot dt}\cdot \sqrt{\int_T |K(s,t)|\cdot|f(t)|^2\frac{1}{\psi(t)}\cdot dt} }[/math]
возведем в квадрат и проинтегрируем по [math]\displaystyle{ S }[/math]:
[math]\displaystyle{ \int_S |(Uf)(s)|^2\cdot ds\le B\int_S \phi(s) \int_T |K(s,t)|\cdot|f(t)|^2\frac{1}{\psi(t)}\cdot dtds= }[/math]
далее по теореме Фубини:
[math]\displaystyle{ =B\int_T \frac{|f(t)|^2}{\psi(t)} \int_S |K(s,t)|\cdot \phi(s)\cdot dsdt\le AB\int_T |f(t)|^2\cdot dt }[/math]
следовательно извлекая корень:
[math]\displaystyle{ ||U(f)||_2 \le \sqrt{AB}\cdot||f||_2 }[/math]

См. также