Теория исключения
Теория исключения (англ. Elimination Theory) — систематическая процедура, направленная на последовательное исключение неизвестных для решения системы линейных алгебраических уравнений. В результате последовательного исключения получается эквивалетная система уравнений с меньшим числом неизвестных.
Основным действием исключения является вычитание кратного [math]\displaystyle{ ℓ_{ij} }[/math] количества уравнений [math]\displaystyle{ j }[/math] из уравнения [math]\displaystyle{ i }[/math].
- [math]\displaystyle{ \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} }[/math].
Например, если [math]\displaystyle{ a_{21}=3 }[/math], а [math]\displaystyle{ a_{11}=1 }[/math], то мы вычитаем [math]\displaystyle{ ℓ_{21}=3\text{-кратно} }[/math] (то есть, три раза) уравнение [math]\displaystyle{ 1 }[/math] из уравнения [math]\displaystyle{ 2 }[/math]. Таким образом во втором уравнении первое слагаемое становится равным нулю.
Все действия по последовательному исключению неизвестных можно совершить с матрицей, соответствующей системе линейных уравнений. Систематически получая нули в матрице, упрощается решение системы линейных алгебраических уравнений. Соответствующая системе линейных уравнений матрица преобразуется в ступенчатый вид. Примером применения теории исключения является метод Гаусса.
Например, осуществляя последовательное исключение к системе уравнений [math]\displaystyle{ Ax=b }[/math] мы получаем матрицу в ступенчатом виде [math]\displaystyle{ Z }[/math] [math]\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 & 9 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 11 & 5 & 35 \end{bmatrix}\to Z= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }[/math] Две ненулевых строки [math]\displaystyle{ Z }[/math] являются базисом подпространства строк матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], два столбца матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] являются базисом подпространства столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]. Нуль-пространство матрицы [math]\displaystyle{ Z }[/math] равно нуль простраству матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]
Такми образом, применяя теорию исключения мы упрощаем матрицу [math]\displaystyle{ A }[/math] без потери той информации, которая она содержит.
Все шаги осуществляемые процедурами теории исключения могут быть осуществлены с применением матриц (См. Матрица исключения). Для небольших матриц теория исключения может быть осуществлена элементарными преобразованиями, однако для больших матриц удобнее применять матрицу исключения.
Литература
- W. Gröbner On Elimination Theory, Innsbruck