Теорема о свободе воли
Теорема о свободе воли — одна из теорем, показывающих, что если исключить мгновенную передачу сигналов на расстоянии, то квантовая механика неизбежно включает в себя истинно случайные события, случайность которых не может быть объяснена недостатком информации о состоянии системы. Из таких теорем следует, что если справедлива Специальная теория относительности, то квантовая теория оказывается несовместима с лапласовским детерминизмом, причём предположения таких теорем допускают экспериментальную проверку[1]..
Название "Теорема о свободе воли" является условным. Статья "The Free Will Theorem" за авторством Джона Конвея и Саймона Коэна была опубликована в журнале Foundations of Physics в 2006 году[2]. В 2009 году они опубликовали более сильную версию теоремы в журнале Notices of the American Mathematical Society[3]. В 2017 году Коэн дополнительно уточнил некоторые детали[4].
Теоремы о невозможности классических локальных теорий
Теоремы рассматриваемого типа обычно рассматривают некоторые эффекты, которые могут быть экспериментально получены для квантовых систем и доказывают, что данные эффекты не могут быть воспроизведены в рамках классических локальных теорий. Для увеличения общности теоремы рассматриваемые квантовые эффекты обычно переформулируются на языке не использующем понятия квантовой механики.
Обычно рассматриваются эффекты связанные с корреляциями (взаимозависимостями) случайных событий, происходящих с двумя (или более) удалёнными друг от друга в пространстве квантовыми объектами.
Свободой воли наблюдателя (экспериментатора) в квантовой механике иногда называется возможность выбрать, измерение какой физической величины производить. Причём выбор должен быть непредсказуем исходя из начального состояния наблюдателя и его окружения.
Свободой воли квантовой системы (или частицы) в квантовой механике иногда называют случайность результата измерения, производимого над данной системой. Причём результат измерения должен быть непредсказуем исходя из начального состояния системы, наблюдателя и их окружения.
Теорема о свободе воли
Квантовая система
Конвей и Коэн рассматривают две частицы со спином 1 в состоянии с суммарным спином 0 (в синглетном состоянии)
- [math]\displaystyle{ |\psi\rangle=\frac{|1\rangle|-1\rangle-|0\rangle|0\rangle+|-1\rangle|1\rangle}{\sqrt{3}}. }[/math]
Первый множитель — спиновое состояние первой частицы (число задаёт проекцию спина на ось z), второй множитель — спиновое состояние второй частицы. В данном состоянии если у первой частицы измерена некоторая проекция спина на ось z (1, 0 или -1 с равной вероятностью), то для второй частицы проекция спина на ось z будет противоположной. Причём рассматриваемое состояние описывается одинаково вне зависимости от того, как ориентирована система координат.
Для частицы со спином 1 разные проекции спина [math]\hat S_x,\hat S_y,\hat S_z[/math] при измерении могут давать значения -1, 0, +1, но они одновременно не измеримы. Их квадраты [math]\hat S_x^2,\hat S_y^2,\hat S_z^2[/math] при измерении могут давать значения 0 и 1, причём они одновременно измеримы, а [math]\hat S_x^2+\hat S_y^2+\hat S_z^2=2[/math].
Таким образом, если для пары частиц в спиновом состоянии [math]|\psi\rangle[/math] два удалённых наблюдателя могут одновременно измерять шесть величин: [math]\hat S_x^2,\hat S_y^2,\hat S_z^2[/math] для первой частицы и для второй частицы. Причём каждый наблюдатель может выбрать свои направления осей x, y, z. Если направление оси системы координат первого наблюдателя совпадёт с направлением оси системы координат второго наблюдателя, то значения квадрата проекции спина обоих частиц на эти оси совпадут.
Аксиоматическое описание квантовой системы для нужд Теоремы
Для того, чтобы расширить общность теоремы необходимые для её формулировки свойства рассматриваемой квантовой системы описываются аксиоматически, выделяя только те свойства, которые нужны для формулировки Теоремы. Аксиомы SPIN и TWIN описывают необходимые свойства квантовой системы (то, что нужно от квантовой теории), аксиома FIN предполагает, что измерения над двумя частицами проходят независимо без передачи информации (то, что нужно от от теории относительности).
Аксиома "SPIN"
Измерения квадрата проекции спина частицы со спином 1 в любых трёх ортогональных направлениях всегда даёт перестановку чисел (1, 1, 0) (т.е. два раза 1 и один раз 0, порядок в котором получаются 1 и 0 не задан).
Аксиома "TWIN"
Можно приготовить («запутать») две частицы со спином 1 в таком состоянии, чтобы измерения квадрата проекции спина на параллельные направления давали одинаковые результаты для обоих частиц. При этом частицы могут быть разнесены на достаточное расстояние, чтобы измерения не влияли друг на друга.
Аксиома "FIN"
Существует верхняя граница скорости с которой возможна эффективная (т.е. такая, которую возможно обнаружить) передача информации.
Утверждение теоремы
Если выбор направлений x,y,z, для которых измеряются [math]\hat S_x^2,\hat S_y^2,\hat S_z^2[/math] для частицы со спином 1 не является функцией информации, доступной экспериментатору, то измеренные значения также не являются функцией информации доступной паре частиц.
Результат опыта не является однозначной функцией начальных условий опыта, поведение частиц непредсказуемо (предсказуемы только вероятности различных исходов эксперимента).
В аннотации к статье[2] Теорема формулируется в терминах «свободы воли» (в смысле описанном выше) экспериментатора и системы частиц: если у нас есть свобода воли в том смысле, что наш выбор не является функцией прошлого, то с учётом некоторых допущений, она есть и у системы квантовых частиц.
Авторы намеренно использовали термин «свобода воли» (free will) для описания поведения частиц в эксперименте, несмотря на очевидную философскую окраску этого термина. Такое использование термина «свобода воли» является спекулятивным и рассчитано не столько на физиков, сколько на широкую публику.
Обобщения
В их более поздней статье 2009 года «Сильная теорема о свободе воли»[3] Конвей и Коэн заменили fin-аксиому на более слабое утверждение, min-аксиому, усилив теорему. Min-аксиома утверждает лишь то, что два экспериментатора, разделённые в пространстве и времени, могут выполнять измерения независимо друг от друга. В частности, не постулируется, что скорость передачи всей информации ограничивается максимальным пределом, а утверждается только то, что это верно для конкретной информации о вариантах измерений. В 2017 году Коэн опубликовал статью, где заменил min-аксиому на lin-аксиому — экспериментально проверяемую Лоренц-ковариантность[4].
Теорема
- Теорема о свободе воли гласит:
С учетом аксиом, если два рассматриваемых экспериментатора могут свободно выбирать, какие измерения проводить, то результаты измерений не могут быть определены ничем до эксперимента.
Поскольку теорема применима к любой произвольной физической теории, согласующейся с этими аксиомами, было бы невозможно даже поместить информацию в прошлое вселенной специальным образом. Аргумент исходит из теоремы Коэна — Спекера, которая показывает, что результат любого отдельного измерения спина не был зафиксирован независимо от выбора измерений. Как заявили Катор и Лэндсман в отношении теорий скрытых переменных:[5] "Было сходное противоречие между идеей о том, что скрытые переменные (в соответствующем причинном прошлом) должны, с одной стороны, включать всю онтологическую информацию, относящуюся к эксперименту, но, с другой стороны, должны оставлять экспериментаторам свободу выбора любых настроек".
Доказательство теоремы основывается на парадоксе Коэна — Спекера, выдвинутом за 40 лет до этого. Парадокс показывал, что существует противоречие между классическими представлениями и квантовой теорией — нарушение запрета некоммутирующих операторов имеет определённые численные значения одновременно, а это приводит к элементарным алгебраическим противоречиям[6].
- Следствие теоремы
Если физики-экспериментаторы действительно обладают свободой воли, то поведение элементарных частиц, изучаемых ими, непредсказуемо.
См. также
Примечания
- ↑ Теорему о свободе воли проверили экспериментально. lenta.ru (9 апреля 2016). Дата обращения: 13 апреля 2020. Архивировано 17 ноября 2019 года.
- ↑ 2,0 2,1 Conway, John. The Free Will Theorem (англ.) // Foundations of Physics : journal. — 2006. — Vol. 36, no. 10. — P. 1441. — doi:10.1007/s10701-006-9068-6. — . — arXiv:quant-ph/0604079.
- ↑ 3,0 3,1 Conway, John H. The strong free will theorem (англ.) // Notices of the American Mathematical Society : journal. — 2009. — Vol. 56, no. 2. — P. 226—232. Архивировано 31 июля 2020 года.
- ↑ 4,0 4,1 Kochen S., (2017), Born’s Rule, EPR, and the Free Will Theorem arxiv
- ↑ Cator, Eric. Constraints on determinism: Bell versus Conway–Kochen (англ.) // Foundations of Physics : journal. — 2014. — Vol. 44, no. 7. — P. 781—791. — doi:10.1007/s10701-014-9815-z. — . — arXiv:1402.1972.
- ↑ Доказана теорема, опровергающая квантово-механический детерминизм Два известных математика из Принстонского университета доказали теорему, подтверждающую непредсказуемость поведения элементарных частиц.. cnews. Дата обращения: 13 апреля 2020. Архивировано 12 октября 2018 года.