Теорема Фробениуса — Перрона

Теорема Фробениуса — Перрона — теорема о наибольшем собственном значении вещественной квадратной матрицы с положительными компонентами. Эта теорема имеет многочисленные приложения в теории вероятностей (эргодичность цепей Маркова); в теории динамических систем; в экономике; в демографии; в социальных сетях; в поисковых системах.

Доказана Оскаром Перроном (1907) и независимо Георгом Фробениусом (1912). Идея использования этой теоремы для определения порядка игроков в турнирах принадлежит Эдмунду Ландау.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — квадратная матрица, со строго положительными вещественными элементами, тогда справедливы утверждения:

• наибольшее по модулю собственное значение [math]\displaystyle{ r }[/math] является вещественным и строго положительным;
• это собственное значение является простым корнем характеристического многочлена;
• соответствующий [math]\displaystyle{ r }[/math] собственной вектор имеет (точнее говоря, может быть выбран таким образом, чтобы иметь) строго положительные координаты, все остальные собственные векторы таким свойством не обладают;
• собственное значение [math]\displaystyle{ r }[/math] удовлетворяет неравенствам

[math]\displaystyle{ \min_i \sum_j a_{ij} \leqslant r \leqslant \max_i \sum_j a_{ij}. }[/math]

См. также

• Оператор Перрона — Фробениуса

Литература

• Perron, Oskar (1907), Zur Theorie der Matrices, Mathematische Annalen Т. 64 (2): 248–263, DOI 10.1007/BF01449896 
• Frobenius, Georg (1912), Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 456–477 
• Frobenius, Georg (1908), Über Matrizen aus positiven Elementen, 1, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 471–476 
• Frobenius, Georg (1909), Über Matrizen aus positiven Elementen, 2, Sitzungsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss.: 514–518 
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц, — М.: Наука 1966, 576с.