Теорема Лакса — Мильграма

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема Лакса — Мильграма — теорема функционального анализа имеющая широкое применение в численных методах, в частности при теоретическом обосновании метода конечных элементов.

Формулировка

Пусть

  • [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math] является гильбертовым пространством со скалярным произведением [math]\displaystyle{ \langle\cdot,\cdot\rangle, }[/math] и ассоциированной нормой [math]\displaystyle{ \|\cdot\| }[/math]
  • [math]\displaystyle{ a(\cdot\, ,\,\cdot) }[/math] является билинейной формой, которая:
    • непрерывна
    • коэрцитивна в [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math] (иногда используется термин [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math]-эллиптичность); то есть, [math]\displaystyle{ \exists\,\alpha\gt 0, \forall u\in\mathcal{H}\,,\ a(u,u) \geq \alpha\|u\|^2 }[/math]
  • L является непрерывной линейной формой в [math]\displaystyle{ \mathcal{H} }[/math].

Тогда существует единственный элемент [math]\displaystyle{ u \in \mathcal{H} }[/math], такой, что равенство

[math]\displaystyle{ a(u,v) = L(v) }[/math]

выполняется для всех [math]\displaystyle{ v \in \mathcal{H} }[/math]:

См. также