Теорема Риса о полноте

Теорема Риса о полноте — утверждение функционального анализа о полноте пространства Лебега [math]\displaystyle{ L_{2}\left ( a, b \right ) }[/math]. Названа по имени венгерского математика Фридьеша Риса, установившего результат.

Формулировка

Каждая последовательность [math]\displaystyle{ \left \{ f_{n}(x) \right \} }[/math] функций с интегрируемым на [math]\displaystyle{ \left [ a, b \right ] }[/math] квадратом, сходящаяся в среднем в себе, сходится в среднем к некоторой функции, также принадлежащей пространству [math]\displaystyle{ L_{2}\left ( a, b \right ) }[/math].

Доказательство

Пусть задано произвольное [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]. Найдется номер [math]\displaystyle{ n_{\epsilon} }[/math], такой что [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left \{ f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right \}^{2} dx \lt \epsilon^{2} }[/math] при [math]\displaystyle{ n \geqslant n_{\epsilon}, p \gt 0 }[/math]. Возьмем [math]\displaystyle{ \epsilon = \frac{1}{2}, \frac{1}{2^{2}}, \frac{1}{2^{3}}, ..., \frac{1}{2^{k}}, ... }[/math] и для каждого [math]\displaystyle{ \epsilon = \frac{1}{2^{k}} }[/math] подберем соответствующий номер [math]\displaystyle{ n_{k} }[/math]. Можно считать, что [math]\displaystyle{ n_{1} \lt n_{2} \lt .... \lt n_{k} \lt ... }[/math]. Таким образом, [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left \{ f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right \}^{2} dx \lt \frac{1}{2^{2k}} }[/math]. Взяв, в частности [math]\displaystyle{ n=n_{k}, n+p=n_{k+1} }[/math], будем иметь [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \lt \frac{1}{2^{2k}} }[/math]. Неравенство Коши — Буняковского даст [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left | f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right | dx = \int_{a}^{b} \left | f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right | * 1 dx \leqslant \sqrt{\int_{a}^{b} dx} \sqrt{\int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx} \lt \sqrt{b-a} * \frac{1}{2^{k}} }[/math]. И поэтому положительный ряд [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left | f_{n_{1}}(x) \right | dx + \sum_{k=1}^{\infty} \left | f_{n_{k+1}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right |^{2}dx }[/math] сходится, так как его члены не превышают членов сходящегося геометрического ряда. Покажем, что [math]\displaystyle{ f(x) \in L_{2}\left ( a, b \right ) }[/math]. Положим в неравенстве [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left \{ f_{n+p}(x)-f_{n}(x) \right \}^{2} dx \lt \frac{1}{2^{2k}} }[/math] [math]\displaystyle{ n=n_{k} }[/math] а [math]\displaystyle{ n+p=n_{m} }[/math], где [math]\displaystyle{ m \gt k }[/math]. Получим [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{m}}(x)-f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \lt \frac{1}{2^{2k}} }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ m \rightarrow \infty }[/math].Тогда подынтегральные функции стремятся почти всюду к [math]\displaystyle{ \left \{ f(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} }[/math] и в силу их неотрицательности можно применить лемму Фату. Будем иметь [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left \{ f(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \leqslant \sup_{m\gt k} \int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{m}}(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \lt \frac{1}{2^{2k}} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ f(x) \in L_{2}\left ( a, b \right ) }[/math]. Теперь неравенство [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left \{ f(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \leqslant \sup_{m\gt k} \int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{m}}(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \lt \frac{1}{2^{2k}} }[/math] показывает, что подпоследовательность [math]\displaystyle{ \left \{ f_{n_{k}}(x) \right \} }[/math] сходится в среднем к [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]. Докажем, что и вся последовательность [math]\displaystyle{ \left \{ f_{n}(x) \right \} }[/math] сходится к той же функции. Согласно неравенству треугольника имеем [math]\displaystyle{ \left \| f_{n} - f \right \| \leqslant \left \| f_{n} - f_{n_{k}} \right \| + \left \| f_{n_{k}} - f \right \| }[/math]. Для произвольного [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math] возьмем сначала [math]\displaystyle{ k }[/math] так, чтобы [math]\displaystyle{ \frac{1}{2^{2k}} \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]. Тогда в силу [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} \left \{ f(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \leqslant \sup_{m\gt k} \int_{a}^{b} \left \{ f_{n_{m}}(x) - f_{n_{k}}(x) \right \}^{2} dx \lt \frac{1}{2^{2k}} }[/math] получаем [math]\displaystyle{ \left \| f_{n_{k}} - f \right \| \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math]. Если, кроме того, выбрать [math]\displaystyle{ n_{k} }[/math] настолько большим, чтобы при [math]\displaystyle{ n \geqslant n_{k} }[/math] имело место неравенство [math]\displaystyle{ \left \| f_{n} - f_{n_{k}} \right \| \lt \frac{\epsilon}{2} }[/math], что возможно в силу сходимости в среднем к себе последовательности [math]\displaystyle{ \left \{ f_{n}(x) \right \} }[/math], то будем иметь [math]\displaystyle{ \left \| f_{n} - f \right \| \lt \epsilon }[/math] при [math]\displaystyle{ n \geqslant n_{k} }[/math], а это и означает требуемую сходимость.

Литература

• Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 218.