Теорема Риба о сфере
Теорема Риба о сфере: Пусть на замкнутом ориентируемом связном многообразии [math]\displaystyle{ M^n }[/math] существует слоение с особенностями, все особые точки которого изолированы и являются центрами. Тогда [math]\displaystyle{ M^n }[/math] гомеоморфно сфере [math]\displaystyle{ S^n }[/math], и слоение имеет ровно две особые точки.
Теорема доказана в 1946 году французским математиком Жоржем Рибом.
Морсовское слоение
Изолированная особая точка слоения F называется точкой морсовского типа, если в её малой окрестности все слои являются уровнями некоторой функции Морса, а сама она является критической точкой этой функции.
Особая точка морсовского типа называется центром, если она является локальным экстремумом функции; в противном случае она называется седлом.
Обозначим ind p = min(k, n − k), индекс особенности [math]\displaystyle{ p }[/math], где k — индекс соответствующей критической точки морсовской функции. В частности, центр имеет индекс 0, индекс седла по меньшей мере 1.
Морсовское слоение F на многообразии M это особое трансверсально ориентированное слоение коразмерности 1 класса C2 с изолированными особенностями, причем:
- все особенности F морсовского типа,
- каждый особый слой L содержит только одну особую точку p; при этом, если ind p = 1 то [math]\displaystyle{ L\setminus p }[/math] несвязно.
Пусть c — число центров морсовского слоения F, и [math]\displaystyle{ s }[/math] — число его седел, оказывается, что разность c − s тесно связана с топологией многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math].
Теорема Риба о сфере
Рассмотрим случай c > s = 0, то есть все особенности являются центрами, седла отсутствуют.
Теорема:[1] Пусть на замкнутом ориентированном связном многообразии [math]\displaystyle{ M^n }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n\ge 2 }[/math] существует [math]\displaystyle{ C^1 }[/math]-трансверсально ориентированное слоение [math]\displaystyle{ F }[/math] коразмерности 1 с непустым множеством изолированных особых точек, которые все являются центрами. Тогда слоение [math]\displaystyle{ F }[/math] имеет ровно две особые точки, и многообразие [math]\displaystyle{ M^n }[/math] гомеоморфно сфере [math]\displaystyle{ S^n }[/math].
Этот факт является следствием теоремы Риба об устойчивости.
Вариации и обобщения
Более общим является случай [math]\displaystyle{ c\gt s\ge 0. }[/math]
В 1978 году Вагнер (E. Wagneur) обобщил теорему Риба о сфере на морсовские слоения с седлами. Он показал, что число центров не может быть слишком велико в сравнении с числом седел, а именно, [math]\displaystyle{ c\le s+2 }[/math]. Таким образом, есть ровно два случая, когда [math]\displaystyle{ c\gt s }[/math]:
- (1) [math]\displaystyle{ c=s+2, }[/math]
- (2) [math]\displaystyle{ c=s+1. }[/math]
Вагнер также описал многообразия, на которых существуют слоения, удовлетворяющие случаю (1).
Теорема[2]: Пусть на компактном связном многообразии [math]\displaystyle{ M^n }[/math], существует морсовское слоение [math]\displaystyle{ F }[/math] с [math]\displaystyle{ c }[/math] центрами и [math]\displaystyle{ s }[/math] седлами. Тогда [math]\displaystyle{ c\le s+2 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ c=s+2 }[/math], то
- [math]\displaystyle{ M^n }[/math] гомеоморфно сфере [math]\displaystyle{ S^n }[/math],
- все седла имеют индекс 1,
- каждый неособый слой диффеоморфен сфере [math]\displaystyle{ S^{n-1} }[/math].
Наконец, в 2008 году Камачо и Скардуа (C. Camacho, B. Scardua) рассмотрели случай (2), [math]\displaystyle{ c=s+1 }[/math]. Интересно, что этот случай возможен только в некоторых размерностях.
Теорема[3]: Пусть [math]\displaystyle{ M^n }[/math] компактное связное многообразие и [math]\displaystyle{ F }[/math] — морсовское слоение на [math]\displaystyle{ M^n }[/math]. Если [math]\displaystyle{ s = c + 1 }[/math], то
- [math]\displaystyle{ n=2,4,8 }[/math] или [math]\displaystyle{ 16 }[/math],
- [math]\displaystyle{ M^n }[/math] является многообразием Илса — Кёйпера.
Ссылки
- ↑ G. Reeb, Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff complétement intégrable ou d’une fonction numérique. — C.R.A.S. Paris 222, 1946, pp. 847—849.[1] Архивная копия от 9 марта 2016 на Wayback Machine
- ↑ E. Wagneur, Formes de Pfaff à singularités non dégénérées — Annales de l’institut Fourier, 28, N3, 1978, p. 165—176 [2] Архивная копия от 5 июня 2011 на Wayback Machine
- ↑ C. Camacho, B. Scardua, On foliations with Morse singularities. — Proc. Amer. Math. Soc., 136, 2008, p. 4065—4073[3]