Теорема Рауса

Теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами. Теорема утверждает, что если в треугольнике [math]\displaystyle{ ABC }[/math] точки [math]\displaystyle{ D }[/math], [math]\displaystyle{ E }[/math] и [math]\displaystyle{ F }[/math] лежат на сторонах [math]\displaystyle{ BC }[/math], [math]\displaystyle{ CA }[/math] и [math]\displaystyle{ AB }[/math] соответственно, то, обозначив [math]\displaystyle{ \tfrac{CD}{BD} }[/math][math]\displaystyle{ = x }[/math], [math]\displaystyle{ \tfrac{AE}{CE} }[/math][math]\displaystyle{ = y }[/math] и [math]\displaystyle{ \tfrac{BF}{AF} }[/math][math]\displaystyle{ = z }[/math], ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами [math]\displaystyle{ AD }[/math], [math]\displaystyle{ BE }[/math] и [math]\displaystyle{ CF }[/math] по отношению к площади треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math] выражается соотношением

[math]\displaystyle{ \frac{(xyz - 1)^2}{(xy + y + 1)(yz + z + 1)(zx + x + 1)} }[/math]

Теорема была доказана Э. Дж. Раусом на 82 странице его Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples в 1896 году. В частном случае, [math]\displaystyle{ x = y = z = 2 }[/math] теорема представляет собой известную теорему об one-seventh area triangle. В случае [math]\displaystyle{ x = y = z = 1 }[/math] медианы пересекаются в центроиде.

Доказательство

Положим площадь треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math] равной [math]\displaystyle{ 1 }[/math]. Для треугольника [math]\displaystyle{ ABD }[/math] и линии [math]\displaystyle{ FRC }[/math], используя теорему Менелая, получим:

[math]\displaystyle{ \frac{AF}{FB} \times \frac{BC}{CD} \times \frac{DR}{RA} = 1 }[/math]

Тогда [math]\displaystyle{ \frac{DR}{RA} = \frac{BF}{FA} \times \frac{DC}{CB} = \frac{zx}{x+1} }[/math] Поэтому площадь треугольника [math]\displaystyle{ ARC }[/math] равна

[math]\displaystyle{ S_{ARC} = \frac{AR}{AD} S_{ADC} = \frac{AR}{AD} \times \frac{DC}{BC} S_{ABC} = \frac{x}{zx+x+1} }[/math]

Аналогично, получаем: [math]\displaystyle{ S_{BPA} = \frac{y}{xy+y+1} }[/math] и [math]\displaystyle{ S_{CQB} = \frac{z}{yz+z+1} }[/math] Таким образом, площадь треугольника [math]\displaystyle{ PQR }[/math] равна:

[math]\displaystyle{ \displaystyle S_{PQR} = S_{ABC} - S_{ARC} - S_{BPA} - S_{CQB} }[/math]

[math]\displaystyle{ = 1 - \frac{x}{zx+x+1} - \frac{y}{xy+y+1} - \frac{z}{yz+z+1} }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac{(xyz - 1)^2}{(xz + x + 1)(yx + y + 1)(zy + z + 1)}. }[/math]

Ссылки

• Murray S. Klamkin, A. Liu (1981) «Three more proofs of Routh’s theorem», Crux Mathematicorum 7:199-203.
• H. S. M. Coxeter (1969) Introduction to Geometry, pp. 211, 219-220, 2nd edition, Wiley, New York.
• J. S. Kline, D. Velleman. (1995) «Yet another proof of Routh’s theorem» (1995) Crux Mathematicorum 21:37-40
• Jay Warendorff. Routh’s Theorem The Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. Routh's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Routh’s Theorem by Cross Products - MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) «Routh’s theorem revisited», Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.