Теорема Пуанкаре о векторном поле

Теорема Пуанкаре о векторном поле (также известна как теорема Пуанкаре — Хопфа и теорема об индексе) — классическая теорема дифференциальной топологии и теории динамических систем; обобщение и уточнение теоремы о причёсывании ежа.

Из неё, в частности, следует, что на двумерной сфере не существует гладкого векторного поля без особых точек, а на двумерном торе — может существовать.

Формулировка

Пусть на гладком замкнутом многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] определено гладкое векторное поле [math]\displaystyle{ V }[/math], имеющее конечное число изолированных особых точек [math]\displaystyle{ A_1,A_2,\dots,A_n }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} J_{A_i}(V)=\chi(M), }[/math]

здесь [math]\displaystyle{ J_{A_i}(V) }[/math] — индекс точки [math]\displaystyle{ A_i }[/math] относительно поля [math]\displaystyle{ V }[/math] и число [math]\displaystyle{ \chi(M) }[/math] — эйлерова характеристика многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math].

История

Для случая двумерных многообразий теорема была доказана Пуанкаре в 1885 году. Для многообразий произвольной размерности результат был получен Хопфом в 1926 году.

Вариации и обобщения

• Аналогичные теоремы были доказаны для векторных полей с неизолированными особыми точками и для многообразий с особенностями.

Литература

• Милнор Дж., Уоллес А., Дифференциальная топология. Начальный курс. М: Мир, 1972.
• Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. Любое издание.