Теорема Колмогорова

Теоре́ма Колмого́рова в математической статистике уточняет скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ X_1,\ldots,X_n }[/math] — выборка объёма [math]\displaystyle{ n }[/math] , порождённая случайной величиной, которая задаётся непрерывной функцией распределения [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ F_n(x) }[/math] — выборочная функция распределения. Тогда

[math]\displaystyle{ \sqrt{n} \sup\limits_{x\in \mathbb{R}} \left| F_n(x) - F(x) \right| \to K }[/math] по распределению при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math],

где [math]\displaystyle{ K }[/math] — случайная величина, имеющая распределение Колмогорова.

Замечание

Неформально говорят, что скорость сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу имеет порядок [math]\displaystyle{ 1/\sqrt{n} }[/math].

Определение границ доверительной зоны

Теорема Колмогорова очень часто применяется, чтобы определить границы, в которые с заданной вероятностью попадает теоретическая функция [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]:

[math]\displaystyle{ P(\sqrt{n}D_n\leq k_\gamma)=P \left( F_n(x) - \frac{k_\gamma}{\sqrt{n}}\leq F(x) \leq F_n(x) + \frac{k_\gamma}{\sqrt{n}}, x\in \mathbb{R} \right) \xrightarrow{n \to \infty} K(k_\gamma) = \gamma, }[/math]

[math]\displaystyle{ D_n=\sup_x |F_n(x) - F(x)|, }[/math] где [math]\displaystyle{ k_\gamma }[/math] — квантиль уровня [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] закона распределения Колмогорова.

Таким образом с вероятностью [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] при [math]\displaystyle{ n \to \infty \quad F(x) }[/math] находится в указанном интервале.

Вероятность [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] называют уровнем значимости.

Область, определяемую этими границами, называют асимптотической [math]\displaystyle{ \gamma }[/math]-доверительной зоной для теоретической функции распределения.

Литература

Боровков А. А. Математическая статистика. — Санкт-Петербург : Лань, 2010. — С. 390. — ISBN 978-5-8114-1013-2.

См. также