Теорема о равномерной непрерывности

Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка

Пусть даны два метрических пространства [math]\displaystyle{ (X,\rho_X) }[/math] и [math]\displaystyle{ (Y,\rho_Y). }[/math] Пусть также дано компактное подмножество [math]\displaystyle{ A \subset X }[/math] и определённая на нём непрерывная функция [math]\displaystyle{ f\colon A \to Y. }[/math] Тогда [math]\displaystyle{ f }[/math] равномерно непрерывна на [math]\displaystyle{ A. }[/math]

Замечания

• В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, [math]\displaystyle{ f\colon[a,b]\subset \R \to \R }[/math] равномерно непрерывна на нём.

• В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

  [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1) }[/math]

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

Доказательстворазвернуть

Воспользуемся доказательством от противного.

Пусть [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте [math]\displaystyle{ A }[/math]), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], что для всех [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] существуют такие [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math], расстояние между которыми меньше [math]\displaystyle{ \delta }[/math], но расстояние между их образами не менее [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]:

[math]\displaystyle{ \exists \varepsilon\gt 0\colon\quad \forall \delta\gt 0\ \exists x_{\delta},y_{\delta} \in A\colon\quad d(x,y)\lt \delta, }[/math] но [math]\displaystyle{ d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon. }[/math]

Возьмём последовательность [math]\displaystyle{ \{\delta_k\} }[/math], сходящуюся к 0, например, [math]\displaystyle{ \left\{\frac{1}{k}\right\} }[/math]. Построим последовательности [math]\displaystyle{ x_k }[/math] и [math]\displaystyle{ y_k }[/math] так, чтобы

[math]\displaystyle{ d(x_k,y_k)\lt \frac{1}{k} }[/math], но [math]\displaystyle{ d(f(x_k),f(y_k))\geqslant\varepsilon }[/math]

[math]\displaystyle{ A }[/math] — компакт, поэтому можно выделить сходящуюся подпоследовательность:

[math]\displaystyle{ x_{k_j} \to \bar x \in A. }[/math]

Но так как расстояние между членами обеих последовательностей стремится к нулю, то, воспользовавшись неравенством треугольника, получаем, что соответствующие подпоследовательности стремятся к одной точке: [math]\displaystyle{ \bar x = \lim\limits_{j\to\infty} y_{k_j} = \zeta }[/math]. И, так как [math]\displaystyle{ f }[/math] непрерывна [math]\displaystyle{ f(x_{k_j}) \to f(\zeta), \quad f(y_{k_j}) \to f(\zeta) \Rightarrow d(f(x_{k_j}),f(y_{k_j})) \to 0 }[/math], что противоречит предположению, что [math]\displaystyle{ d(f(x_k),f(y_k))\geqslant \varepsilon }[/math].

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.

История

Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне. Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале. В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.

Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.