Теорема Гурвица (теория чисел)

Теорема Гурвица — результат теории чисел, оценивающий возможность приближения иррациональных чисел рациональными.

Формулировка

Для любой константы [math]\displaystyle{ c \leqslant \sqrt{5} }[/math] и иррационального числа [math]\displaystyle{ \xi }[/math] существует бесконечно много целых чисел [math]\displaystyle{ k }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ \xi }[/math] приближаемо рациональными числами с точностью [math]\displaystyle{ |\xi-\frac{h}{k}|\lt \frac{1}{ck^2} }[/math].

Для любой константы [math]\displaystyle{ c \gt \sqrt{5} }[/math] существует иррациональное число [math]\displaystyle{ \xi }[/math] такое, что только конечное количество значений [math]\displaystyle{ k }[/math] позволяют подобрать [math]\displaystyle{ h }[/math], удовлетворяющее [math]\displaystyle{ |\xi-\frac{h}{k}|\lt \frac{1}{ck^2} }[/math].

Доказательство

Теорема была доказана Адольфом Гурвицем в 1891 году. Контрпримером для [math]\displaystyle{ c\gt \sqrt{5} }[/math] может являться число [math]\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{5}}{2} }[/math].

Литература

• К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — Мир, 1968.