Теорема разложения Гельмгольца

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(\mathbf{r}) }[/math] определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_1(\mathbf{r}) }[/math] и соленоидального поля [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_2(\mathbf{r}) }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{F}_1(\mathbf{r})+\mathbf{F}_2(\mathbf{r}), }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\;\mathbf{F}_1 (\mathbf{r}) =0 , }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\,\mathbf{F}_2 (\mathbf{r}) = 0 }[/math]

для всех точек [math]\displaystyle{ \mathbf{r} }[/math] области V.

В более популярной формулировке для всего пространства теорема Гельмгольца гласит:

Любое векторное поле [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math], однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и соленоидального векторных полей и представлено в виде:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F} = - \nabla \Phi + \nabla \times \mathbf{A} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{A} = 0 }[/math]

Скалярная функция [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] называется скалярным потенциалом, векторная функция [math]\displaystyle{ \mathbf{A} }[/math] называется векторным потенциалом.^[1].

Формулировка теоремы

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r, в случае неограниченной области.^[2] Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F})) + \nabla \times (\mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F})), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{G} }[/math] — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным, или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

[math]\displaystyle{ \mathbf{F} = \nabla \times \mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{A}. }[/math]

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

[math]\displaystyle{ \mathbf{F} = - \nabla\,\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F}) = - \nabla \phi. }[/math]

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

[math]\displaystyle{ \mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} }[/math],

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.

Поля, определенные ротором и дивергенцией

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.

Пусть дано скалярное поле [math]\displaystyle{ \mathbf{d}(x,y,z) }[/math] и векторное поле [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(x,y,z) }[/math], которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z) }[/math], что

[math]\displaystyle{ \nabla\cdot\mathbf{F}=\mathbf{d} }[/math] и [math]\displaystyle{ \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{C}. }[/math]

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
задачу для всего пространства R³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция [math]\displaystyle{ (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S}) }[/math] для вектор-функции [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math].

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция [math]\displaystyle{ (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S}) }[/math] для вектор-функции [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math], и на вектор-функцию [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как [math]\displaystyle{ \mathbf{1/r}^{2+\varepsilon} }[/math].

Задача для всего пространства R³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как [math]\displaystyle{ \mathbf{1/r}^{2+\varepsilon} }[/math].

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует при заданных входных данных.

Необходимые условия существования решения

Задача имеет решение не при всех [math]\displaystyle{ \mathbf{d}(x,y,z) }[/math], [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(x,y,z) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{g(S)} }[/math] :

Из тождества [math]\displaystyle{ \nabla \cdot \nabla \times \mathbf{F} \equiv 0 }[/math] следует, что должно быть выполнено условие [math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{C}=0 }[/math], то есть дивергенция вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(x,y,z) }[/math] обязана быть равной нулю.
Для внутренней задачи из тождества [math]\displaystyle{ \iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{S} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})\,dS }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ \iiint_{V} \mathbf{d(x,y,z)}\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS }[/math], то есть интеграл от краевого условия [math]\displaystyle{ \mathbf{g(S)} }[/math] по ограничивающей поверхности [math]\displaystyle{ \mathbf{S} }[/math] должен быть равен интегралу от функции [math]\displaystyle{ \mathbf{d}(x,y,z) }[/math] по объему области.
Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции [math]\displaystyle{ \mathbf{d} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf{C} }[/math] должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решения

A. Внутренняя задача: если

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0 }[/math] и
[math]\displaystyle{ \iiint_{V} \mathbf{d(x,y,z)}\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS }[/math],

то решение задачи восстановления поля [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z) }[/math] по ротору [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(x,y,z) }[/math], дивергенции [math]\displaystyle{ \mathbf{d}(x,y,z) }[/math] и граничному условию [math]\displaystyle{ \mathbf{g(S)} }[/math] существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0 }[/math] и
интегралы [math]\displaystyle{ \iiint_{V} \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV' }[/math] и [math]\displaystyle{ \iiint_{V} \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV' }[/math] сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при [math]\displaystyle{ \mathbf{r}\to\infty }[/math] по крайней мере как [math]\displaystyle{ \mathbf{1/r}^{1+\varepsilon} }[/math],

то решение задачи восстановления поля [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z) }[/math] по ротору [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(x,y,z) }[/math], дивергенции [math]\displaystyle{ \mathbf{d}(x,y,z) }[/math], граничному условию [math]\displaystyle{ \mathbf{g(S)} }[/math] и условию, что [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z) }[/math] спадает на бесконечности по крайней мере как [math]\displaystyle{ \mathbf{1/r}^{2+\varepsilon} }[/math], существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0 }[/math] и
интегралы [math]\displaystyle{ \iiint_{V} \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV' }[/math] и [math]\displaystyle{ \iiint_{V} \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV' }[/math] сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при [math]\displaystyle{ \mathbf{r}\to\infty }[/math] по крайней мере как [math]\displaystyle{ \mathbf{1/r}^{1+\varepsilon} }[/math],

то решение задачи восстановления поля [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z) }[/math] по ротору [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(x,y,z) }[/math], дивергенции [math]\displaystyle{ \mathbf{d}(x,y,z) }[/math] и условию, что [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z) }[/math] спадает на бесконечности по крайней мере как [math]\displaystyle{ \mathbf{1/r}^{2+\varepsilon} }[/math], существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции разложение векторного поля [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z) }[/math] на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

Для заданной вектор-функции [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] вычисляются: функция [math]\displaystyle{ \mathbf{C} = \nabla \times \mathbf{F} }[/math] функция [math]\displaystyle{ \mathbf{d} = \nabla \cdot \mathbf{F} }[/math], краевое условие [math]\displaystyle{ \mathbf{g}(\mathbf{S})=(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S} }[/math], если вектор-функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] задана для подобласти пространства [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math] с границей [math]\displaystyle{ S }[/math].
Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества [math]\displaystyle{ \iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV \equiv \iint_{S} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})\,dS }[/math], следует условие совместности [math]\displaystyle{ \iiint_{V} \mathbf{d}(x,y,z)\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS }[/math]. Поэтому все условия совместности входных данных для задачи [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\mathbf{F_1} = \mathbf{d} }[/math] и [math]\displaystyle{ \nabla\times\mathbf{F_1} = 0 }[/math] с краевым условием [math]\displaystyle{ \mathbf{g}(\mathbf{S}) }[/math] выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F_1} }[/math] является безвихревым полем.
Поскольку [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\mathbf{C} = \nabla\cdot\nabla \times \mathbf{F}\equiv 0 }[/math], условия совместности входных данных для задачи [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\mathbf{F}_2 = 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \nabla\times\mathbf{F}_2 = \mathbf{C} }[/math] с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F_2} }[/math] является соленоидальным полем.
Рассмотрим задачу [math]\displaystyle{ \nabla\cdot\mathbf{F}_3 = \mathbf{d} }[/math], [math]\displaystyle{ \nabla\times\mathbf{F}_3 = \mathbf{C} }[/math] с краевым условием [math]\displaystyle{ \mathbf{g}(\mathbf{S}) }[/math]. Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math], а с другой стороны, решением этой же задачи является функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 }[/math]. Значит, [math]\displaystyle{ \mathbf{F}\equiv\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2 }[/math], искомое представление поля [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенции

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции [math]\displaystyle{ \mathbf{d}(x,y,z) }[/math] вычисляется функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F_1}(x,y,z)=\nabla \mathbf{U} }[/math], где скалярный потенциал [math]\displaystyle{ \mathbf{U}(x,y,z) }[/math] вычисляется по формуле

[math]\displaystyle{ \mathbf{U}(x,y,z)=-\frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'dy'dz' }[/math].

В результате получается функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F_1}(x,y,z) }[/math], у которой [math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{F_1}(x,y,z)=\mathbf{d}(x,y,z) }[/math] и [math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{F_1}(x,y,z)=0 }[/math];

2) Для заданной функции [math]\displaystyle{ \mathbf{C}(x,y,z) }[/math] вычисляется функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F_2}(x,y,z)=\nabla \times \mathbf{A} }[/math], где векторный потенциал [math]\displaystyle{ \mathbf{A}(x,y,z) }[/math] вычисляется по формуле

[math]\displaystyle{ \mathbf{A}(x,y,z)=+\frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'dy'dz' }[/math].

В результате получается функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F_2}(x,y,z) }[/math], у которой [math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{F_2}(x,y,z)=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{F_2}(x,y,z)=\mathbf{C}(x,y,z) }[/math];

3) Ищется функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F_3}(x,y,z) }[/math], у которой [math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{F_3}(x,y,z)=0 }[/math], [math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{F_3}(x,y,z)=0 }[/math], а нормальная проекция на границе области [math]\displaystyle{ (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F_3})|_{S} }[/math] выбрана таким образом, чтобы [math]\displaystyle{ \mathbf{F}=\mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}+\mathbf{F_3} }[/math] удовлетворяла граничному условию [math]\displaystyle{ (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S}) }[/math].

Чтобы найти такую функцию [math]\displaystyle{ \mathbf{F_3}(x,y,z) }[/math], делается подстановка [math]\displaystyle{ \mathbf{F_3}(x,y,z)=\nabla \mathbf{H} }[/math], где скалярный потенциал [math]\displaystyle{ \mathbf{H}(x,y,z) }[/math] должен удовлетворять уравнению Лапласа [math]\displaystyle{ \Delta\mathbf{H}=0 }[/math]. Для функции [math]\displaystyle{ \mathbf{H}(x,y,z) }[/math] получается краевое условие Неймана [math]\displaystyle{ \left.\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial\mathbf{n}}\right|_{S}=\mathbf{g(S)}-(\mathbf{n}\cdot(\mathbf{F_1+F_2})) }[/math], причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция [math]\displaystyle{ \mathbf{H}(x,y,z) }[/math] всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F_3}(x,y,z) }[/math] всегда существует и единственна.

Функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)+\mathbf{F_3}(x,y,z) }[/math] является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)+\mathbf{F_3}(x,y,z) }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathbf{F_3}(x,y,z) }[/math], есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция [math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z) }[/math], обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot \mathbf{F} = d }[/math] и [math]\displaystyle{ \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C}. }[/math]

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всём пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно.^[2] В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике; например, уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа^[2]. Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})). }[/math]

См. также

Примечания

↑ Ли, 1965, с. 50.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

Литература

Кочин Н. Е. — Векторное исчисление и начала тензорного анализа
Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 177.
Ли Цзун-дао. Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — 296 с.

[_4c797180538de8f2-1] Ли, 1965, с. 50.

[griffiths-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

[1]

[2]