Теорема Гарнака о кривых

Эллиптическая кривая (степени 3) слева является M-кривой, поскольку имеет максимум (2) компонент, в то время как кривая справа имеет только одну компоненту.

Теорема Гарнака о кривых, названная именем Акселя Гарнака, даёт возможное число связных компонент, которое может иметь алгебраическая кривая в терминах степени кривой. Для любой алгебраической кривой степени m на вещественной проективной плоскости число компонент c ограничено выражением

[math]\displaystyle{ \frac{1-(-1)^m}{2} \leqslant c \leqslant \frac{(m-1)(m-2)}{2}+1.\ }[/math]

Максимальное число компонент на единицу больше максимального рода кривой порядка m, достигаемого в случае несингулярности кривой. Более того, любое число компонент в этом диапазоне возможных значений может быть достигнуто.

Кривая Тротта с показанными здесь 7 касательными является квартикой (степени 4), M-кривой, достигающей максимального числа (4) компонент для кривых такой степени.

Кривая, достигающая максимального числа вещественных компонент, называется M-кривой (от «maximum») . Например, эллиптическая кривая с двумя компонентами, такая как [math]\displaystyle{ y^2=x^3-x, }[/math] или кривая Тротта, квартика с четырьмя компонентами, являются примерами M-кривых.

Эта теорема образует предпосылки для шестнадцатой проблемы Гильберта.

В современных исследованиях показано, что кривые Гарнака — это кривые, амёба которых имеет площадь, равную многоугольнику ньютона многочлена P, который называется характеристической кривой димерных моделей, и любая кривая Гарнака является спектральной кривой некоторой модели димеров.

Литература

Перевод с английского статьи "Harnack's curve theorem"