Теорема Бруна

Сходимость к константе Бруна.

Теорема Бруна утверждает, что сумма чисел, обратных числам-близнецам (парам простых чисел, которые отличаются лишь на 2) сходится к конечному значению, известному как константа Бруна, которая обозначается как B₂ (последовательность A065421 в OEIS). Теорему Бруна доказал Вигго Брун в 1919, и она имеет историческое значение для методов решета.

Асимптотические границы чисел-близнецов

Сходимость суммы обратных к числам-близнецам следует из ограниченности плотности последовательности чисел-близнецов. Пусть [math]\displaystyle{ \pi_2(x) }[/math] означает число простых [math]\displaystyle{ p \leqslant x }[/math] чисел, для которых p + 2 тоже является простым (т.е. [math]\displaystyle{ \pi_2(x) }[/math] является числом чисел-двойников, не превосходящих x). Тогда для [math]\displaystyle{ x \geqslant 3 }[/math] мы имеем

[math]\displaystyle{ \pi_2(x) =O\left(\frac {x(\log\log x)^2}{(\log x)^2} \right). }[/math]

То есть числа-близнецы более редки по сравнению с простыми числами почти на логарифмический множитель. Из этого ограничения следует, что сумма обратных к числам-близнецам сходится, или, другими словами, числа-близнецы образуют маленькое множество. Сумма в явном виде

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{{p + 2}}} \right)} = \left( {\frac{1}{3} + \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} + \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{13}}} \right) + \cdots }[/math]

либо имеет конечное число членов, либо имеет бесконечное число членов, но сходится к значению, известному как константа Бруна.

Из факта, что сумма обратных значений простым числам расходится, вытекает, что существует бесконечно много простых чисел. Поскольку сумма обратных значений чисел-близнецов сходится, из этого результата невозможно заключить, что существует бесконечно много чисел-близнецов. Константа Бруна иррациональна только в случае бесконечного числа чисел-двойников.

Числовые оценки

При вычислении чисел-двойников вплоть до 10¹⁴ (и обнаружении по пути ошибки Pentium FDIV), Томас Р. Найсли эвристически оценил константу Бруна примерно равной 1,902160578. Найсли расширил вычисления до 1,6⋅10¹⁵ к 18 января 2010, но это не было самое большое вычисление этого типа.

В 2002 Паскаль Себа и Патрик Демишель использовали все числа-двойники вплоть до 10¹⁶ и получили оценку

B₂ ≈ 1,902160583104.

Оценка опирается на оценку суммы в 1,830484424658... для чисел-двойников, меньших 10¹⁶. Доминик Клайв показал (в неопубликованных тезисах), что B₂ < 2.1754 в предположении, что верна расширенная гипотеза Римана.

Существует также константа Бруна для квадруплетов близнецов. Квадруплет простых чисел — это пара двух простых двойников, разделённых расстоянием 4 (наименьшее возможное расстояние). Несколько квадруплетов — (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). Константа Бруна для квадруплетов, обозначаемая B₄, является суммой обратных чисел ко всем квадруплетам:

[math]\displaystyle{ B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right) + \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right) + \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots }[/math]

И эта сумма равна

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, ошибка имеет уровень уверенности в 99 % (согласно Найсли).

Эту константу не следует путать с константой Бруна для родственных простых чисел, пар простых чисел вида (p, p + 4), поскольку эта константа тоже записывается как B₄.

Дальнейшие результаты

Пусть [math]\displaystyle{ C_2=0,6601\ldots }[/math] (последовательность A005597 в OEIS) — константа простых-близнецов. Есть гипотеза, что

[math]\displaystyle{ \pi_2(x)\sim2C_2\frac{x}{(\log x)^2}. }[/math]

В частности,

[math]\displaystyle{ \pi_2(x)\lt (2C_2+\varepsilon)\frac{x}{(\log x)^2} }[/math]

для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] и всех достаточно больших x.

Многие специальные случаи, упомянутые выше, были доказаны. Недавно Цзие У (Jie Wu) доказал, что для достаточно большого x,

[math]\displaystyle{ \pi_2(x) \lt 4,5 \frac {x}{(\log x)^2} }[/math],

где 4,5 соответствует случаю [math]\displaystyle{ \varepsilon\approx3,18 }[/math] выше.

В популярной культуре

Цифры константы Бруна были использованы в заявке в $1.902.160.540 на патентном аукционе Nortel. Заявка была опубликована компанией Google и была одной из трёх заявок Google, основанных на математических константах.

См. также

• Ряд обратных простых чисел
• Константа Майсселя — Мертенса

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Brun's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Brun's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Brun's constant (англ.) на сайте PlanetMath.
• Sebah, Pascal and Xavier Gourdon, Introduction to twin primes and Brun's constant computation, 2002. A modern detailed examination.
• Wolf's article on Brun-type sums