Сходимость по распределению

Сходи́мость по распределе́нию в теории вероятностей — вид сходимости случайных величин.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math] и определённые на нём случайные величины [math]\displaystyle{ X,X_n:\Omega \to \mathbb{R}^m,\,n =1,2,\ldots }[/math]. Каждая случайная величина индуцирует вероятностную меру на [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^m }[/math], называемую её распределением.

Случайные величины [math]\displaystyle{ X_n }[/math] сходятся по распределению к случайной величине [math]\displaystyle{ X }[/math], если распределения [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^{X_n} }[/math] слабо сходятся к распределению [math]\displaystyle{ \mathbb{P}^X }[/math], то есть

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty}\int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X_n}(dx) = \int\limits_{\mathbb{R}^m} f(x)\, \mathbb{P}^{X}(dx) }[/math]

для любой непрерывной ограниченной функции [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R} }[/math].

Замечания

• Пользуясь теоремой о замене меры в интеграле Лебега, последнее равенство может быть переписано следующим образом:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n \to \infty}\mathbb{E}f(X_n) = \mathbb{E}f(X) }[/math].

• Предел по распределению не единствен. Если распределения двух случайных величин идентичны, то они одновременно являются или не являются пределом по распределению последовательности случайных величин.

Свойства сходимости по распределению

• Случайные величины [math]\displaystyle{ X_n }[/math] сходятся по распределению к [math]\displaystyle{ X }[/math], если их функции распределения [math]\displaystyle{ F_{X_n} }[/math] сходятся к функции распределения предела [math]\displaystyle{ F_X }[/math] во всех точках непрерывности последней:

[math]\displaystyle{ F_X \in C(x) \Rightarrow \lim\limits_{n\to \infty} F_{X_n}(x) = F_X(x) }[/math].

• Если все случайные величины в определении абсолютно непрерывны, и их плотности сходятся:

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to \infty} f_{X_n}(x) \to f_X(x) }[/math] почти всюду,

то [math]\displaystyle{ X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X }[/math]. Обратное, вообще говоря, неверно!

• Сходимость по вероятности (а следовательно и сходимости почти наверное и в [math]\displaystyle{ L^p }[/math]) влечёт сходимость по распределению:

[math]\displaystyle{ X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathbb{P}} X \Rightarrow X_n \to^{\!\!\!\!\!\!\! \mathcal{D}} X }[/math].

Обратное, вообще говоря, неверно.

См. также

• Теорема Слуцкого