Сходимость по мере

Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{F},\mu) }[/math] — пространство с мерой. Пусть [math]\displaystyle{ f_n,f:X \to \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\ldots }[/math] — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций [math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math] сходится по мере к функции [math]\displaystyle{ f }[/math], если

[math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|\gt \varepsilon\}) = 0 }[/math].

Обозначение: [math]\displaystyle{ f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f }[/math].

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство [math]\displaystyle{ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) }[/math] с определёнными на нём случайными величинами [math]\displaystyle{ X_n,X,\; n=1,2,\ldots }[/math], то говорят, что [math]\displaystyle{ \{X_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math] сходится по вероятности к [math]\displaystyle{ X }[/math], если

[math]\displaystyle{ \forall \varepsilon \gt 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| \gt \varepsilon) = 0 }[/math].

Обозначение: [math]\displaystyle{ X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X }[/math].

Замечание

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мере

• Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math] сходится по мере к [math]\displaystyle{ f }[/math], то у неё существует подпоследовательность [math]\displaystyle{ f_{n_k} }[/math], сходящаяся к [math]\displaystyle{ f }[/math] [math]\displaystyle{ \mu }[/math]-почти всюду.

• Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math] сходится по мере к [math]\displaystyle{ f }[/math] тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности [math]\displaystyle{ f_n }[/math] существует подпоследовательность, которая сходится к [math]\displaystyle{ f }[/math] почти всюду.

• Если последовательность функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math] сходится по мере к [math]\displaystyle{ f }[/math], и [math]\displaystyle{ \forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g }[/math], где [math]\displaystyle{ g \in L^p,\; p \geqslant 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ f_n, f \in L^p }[/math], и [math]\displaystyle{ f_n }[/math] сходится к [math]\displaystyle{ f }[/math] в [math]\displaystyle{ L^p }[/math].

• Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math] сходится [math]\displaystyle{ \mu }[/math]-почти всюду к [math]\displaystyle{ f }[/math], то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность функций [math]\displaystyle{ f_n }[/math] сходится в [math]\displaystyle{ L^p }[/math] к [math]\displaystyle{ f }[/math], то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность случайных величин [math]\displaystyle{ X_n }[/math] сходится по вероятности к [math]\displaystyle{ X }[/math], то она сходится к [math]\displaystyle{ X }[/math] и по распределению.
• Если последовательность случайных величин [math]\displaystyle{ X_n }[/math] сходится по вероятности к [math]\displaystyle{ X }[/math], то для любой непрерывной функции [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ f(X_n)\to f(X), n \to\infty }[/math]. Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности [math]\displaystyle{ X_n+Y_n\to X+Y, n \to\infty }[/math]