Критерий Куранта — Фридрихса — Леви
Критерий Куранта — Фридрихса — Леви (критерий КФЛ) — необходимое условие устойчивости явного численного решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных. Как следствие, во многих компьютерных симуляциях временной шаг должен быть меньше определённого значения, иначе результаты будут неправильными. Критерий назван в честь Рихарда Куранта, Курта Фридрихса и Ганса Леви, которые описали его в своей работе в 1928 году.
Физически критерий КФЛ означает, что частица жидкости за один шаг по времени не должна продвинуться больше, чем на один пространственный шаг.[1] Или, иными словами, вычислительная схема не может корректно обсчитывать распространение физического возмущения, которое в реальности движется быстрее, чем вычислительная схема позволяет "отслеживать", то есть один шаг по пространству за один шаг по времени.
Формулировка
Критерий КФЛ применяется к гиперболическим уравнениям. В одномерном случае условие имеет вид:
[math]\displaystyle{ \frac{|u|\Delta t}{\Delta x}\lt C }[/math]
где
- [math]\displaystyle{ u }[/math] — скорость переноса,
- [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math] — временной шаг,
- [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math] — пространственный шаг, а
- константа [math]\displaystyle{ C }[/math] зависит от уравнения, но не зависит от [math]\displaystyle{ \Delta t }[/math] и [math]\displaystyle{ \Delta x }[/math].
В двумерном случае условие имеет вид:
[math]\displaystyle{ \frac{u_x\Delta t}{\Delta x}+\frac{u_y\Delta t}{\Delta y}\lt C }[/math]
См. также
Ссылки
- ↑ Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. — Мир, 1991.
- R. Courant, K. Friedrichs, H. Lewy. Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Mathematische Annalen. — 1928. — Т. 100, № 1. — С. 32—74.
- Курант Р., Фридрихс К., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики // УМН. — 1941. — № 8. — С. 125—160.
- Weisstein, Eric W. Courant-Friedrichs-Lewy Condition (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.