Чезаровское среднее

Чезаровское среднее (среднее по Чезаро) — среднее арифметическое частичных сумм первых [math]\displaystyle{ n }[/math] членов заданной последовательности [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]:

[math]\displaystyle{ c_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n s_i }[/math]

где [math]\displaystyle{ s_n }[/math] — частичные суммы ряда:

[math]\displaystyle{ s_n=\sum_{i=1}^n a_i }[/math]

Названо в честь итальянского математика Эрнесто Чезаро.

Основной результат теории чезаровских средних — теорема Штольца — утверждает, что если существует предел последовательности частичных сумм [math]\displaystyle{ s_n }[/math], то также существует предел последовательности [math]\displaystyle{ c_n }[/math], и они равны:

[math]\displaystyle{ \exists \lim_{n\to \infty} s_n= \lim_{n\to \infty} \sum_{i=1}^n a_i = A\Rightarrow \exists \lim_{n\to \infty} c_n=A }[/math].

Тем самым, операция взятия чезаровского среднего обладает свойством регулярности — сохраняет свойство сходимости последовательности и её предел. В то же время, существует множество примеров, когда исходная последовательность не имеет предела, а её чезаровские средние сходятся. (Например, последовательность [math]\displaystyle{ a_n=(-1)^n }[/math].) Это позволяет использовать чезаровские средние как один из методов суммирования расходящихся рядов.

Ссылки

• Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа.