Строго нормированное пространство

Единичный шар на средней фигуре строго выпуклый, в то время как остальные два — нет (их границы содержат отрезки прямых).

В математике строго нормированные пространства — это важный подкласс нормированных пространств, по своей структуре близких к гильбертовым. Для таких пространств решён вопрос единственности аппроксимаций, и это свойство находит широкое применение в вопросах вычислительной математики и математической физике. Кроме того, в строго нормированном пространстве отрезок соединяющий две точки произвольной сферы, будет целиком лежать строго внутри (за исключением граничных точек) открытого шара, ограниченного данной сферой.

Нормированное пространство X называют строго нормированным (или строго выпуклым), если для произвольных [math]\displaystyle{ x,y\in X }[/math], удовлетворяющих условию [math]\displaystyle{ \|x+y\|=\|x\|+\|y\| }[/math], найдётся такое [math]\displaystyle{ \lambda\in \mathbb R }[/math], что [math]\displaystyle{ y=\lambda x }[/math].

Свойства строго нормированных пространств

• Пусть X — строго нормированное пространство, а L — линейное подпространство. Тогда для [math]\displaystyle{ \forall x\in X }[/math] найдется не более одного элемента [math]\displaystyle{ u\in L }[/math] такого, что [math]\displaystyle{ \rho(x,L)=\|x-u\| }[/math].

Элемент [math]\displaystyle{ u }[/math] называют элементом наилучшего приближения x элементами из L. Существование элемента наилучшего приближения обеспечивает следующая теорема.

Теорема. Пусть X — нормированное пространство, а L — конечномерное линейное подпространство. Тогда для [math]\displaystyle{ \forall x\in E }[/math] существует элемент наилучшего приближения [math]\displaystyle{ u\in L }[/math].

При этом в нормированном, но не строго нормированном пространстве, элемент наилучшего приближения, вообще говоря, не единственен.

• Каждый шар строго нормированного пространства — строго выпуклое множество. Верно и обратное, если в нормированном пространстве каждый шар — строго выпуклое множество, то данное пространство является строго нормированным.
• Нормированное пространство X является строго нормированным тогда и только тогда, когда из условия [math]\displaystyle{ \forall x,y\in X: \|x\|=1,\|y\|=1, x\neq y }[/math] всегда следует что [math]\displaystyle{ \|x+y\|\lt 2 }[/math].

Примеры строго нормированных пространств

• [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 }[/math] с нормой [math]\displaystyle{ \|\mathbf x\|_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2} }[/math]. Однако нормы [math]\displaystyle{ \|\mathbf x\|_1=|x_1|+|x_2| }[/math] и [math]\displaystyle{ \| \mathbf x\|_{\infty}=\max\{|x_1|,|x_2|\} }[/math] на [math]\displaystyle{ \mathbb R^2 }[/math], эквивалентные норме [math]\displaystyle{ \|\cdot\|_2 }[/math] не порождают строго нормированное пространство (см. рисунок).
• [math]\displaystyle{ L_p }[/math], где [math]\displaystyle{ 1\lt p\lt \infty }[/math]. Этот факт следует из неравенства Юнга, которое используется при выводе неравенств Гёльдера и Минковского.
• Гильбертовы пространства

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Функциональный анализ / редактор Крейн С. Г. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).